11. sınıf trigonometri test çöz Test 2

\( \sin x + \cos x = \frac{\sqrt{6}}{2} \) olduğuna göre, \( \sin 2x \) değeri kaçtır?

A) \( \frac{1}{4} \)
B) \( \frac{1}{2} \)
C) \( \frac{\sqrt{3}}{2} \)
D) \( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

Sevgili öğrenciler, bu soruda bize bir trigonometrik ifade verilmiş ve başka bir trigonometrik ifadenin değeri soruluyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi görelim.

• Öncelikle bize verilen ifadeyi yazalım: $ \sin x + \cos x = \frac{\sqrt{6}}{2} $.
• Bizden istenen ifade ise $ \sin 2x $ değeridir. Trigonometrik özdeşliklerden bildiğimiz gibi, $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $ şeklindedir. Yani amacımız $ \sin x \cos x $ çarpımını bulmak.
• Verilen $ \sin x + \cos x $ ifadesinden $ \sin x \cos x $ çarpımına ulaşmak için her iki tarafın karesini alabiliriz. Bu, $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $ özdeşliğini kullanmamızı sağlar.
• Denklemin her iki tarafının karesini alalım: $ (\sin x + \cos x)^2 = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 $
• Sol tarafı açalım: $ \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x $.
• Sağ tarafı hesaplayalım: $ \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^2 = \frac{(\sqrt{6})^2}{2^2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} $.
• Şimdi açtığımız sol taraftaki ifadeye dikkat edelim. Temel trigonometrik özdeşliklerden biri olan $ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $ ifadesini burada kullanabiliriz.
• Bu durumda sol taraf şu hale gelir: $ 1 + 2 \sin x \cos x $.
• Denklemimizi yeniden yazarsak: $ 1 + 2 \sin x \cos x = \frac{3}{2} $.
• Hatırlayalım ki $ 2 \sin x \cos x $ ifadesi, $ \sin 2x $ değerine eşittir. O halde denklemimiz: $ 1 + \sin 2x = \frac{3}{2} $
• Şimdi $ \sin 2x $ değerini bulmak için 1'i eşitliğin diğer tarafına atalım: $ \sin 2x = \frac{3}{2} - 1 $
• Paydaları eşitleyerek çıkarma işlemini yapalım: $ \sin 2x = \frac{3}{2} - \frac{2}{2} $ $ \sin 2x = \frac{3-2}{2} $ $ \sin 2x = \frac{1}{2} $
• Böylece $ \sin 2x $ değerini $ \frac{1}{2} $ olarak bulmuş olduk.

Cevap B seçeneğidir.