Grafiği verilen parabolün denklemini yazma Test 2

Bir parabolün x eksenini kestiği noktalar (1,0) ve (5,0) olarak verilmiştir. Parabolün minimum değeri -8 olduğuna göre denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) y = 2(x-3)²-8
B) y = 2(x-3)²+8
C) y = -2(x-3)²-8
D) y = -2(x-3)²+8

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir parabolün x eksenini kestiği noktaları ve minimum değerini kullanarak parabolün denklemini bulacağız. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• 1. Adım: x-ekseni kesim noktalarını kullanarak parabolün genel denklemini yazma

  Bir parabolün x eksenini kestiği noktalar $(x_1, 0)$ ve $(x_2, 0)$ olarak verildiğinde, parabolün denklemini $y = a(x - x_1)(x - x_2)$ şeklinde yazabiliriz. Soruda verilen kesim noktaları $(1,0)$ ve $(5,0)$ olduğundan, $x_1 = 1$ ve $x_2 = 5$ değerlerini yerine koyarız.

  $y = a(x - 1)(x - 5)$

  Buradaki '$a$' katsayısı, parabolün kollarının yönünü ve açıklığını belirler. Şimdi bu '$a$' değerini bulmamız gerekiyor.

• 2. Adım: Tepe noktasının x-koordinatını ($x_v$) bulma

  Parabolün tepe noktası, x eksenini kestiği noktaların tam ortasında yer alır. Bu, tepe noktasının x-koordinatını ($x_v$) bulmak için bir ortalama alacağımız anlamına gelir:

  $x_v = \frac{x_1 + x_2}{2}$

  $x_v = \frac{1 + 5}{2}$

  $x_v = \frac{6}{2}$

  $x_v = 3$

  Yani, parabolün tepe noktasının x-koordinatı $3$'tür.

• 3. Adım: Tepe noktasının y-koordinatını ($y_v$) belirleme

  Soruda parabolün minimum değerinin $-8$ olduğu belirtilmiştir. Bir parabolün minimum (veya maksimum) değeri, her zaman tepe noktasının y-koordinatıdır. Bu durumda, tepe noktasının y-koordinatı $y_v = -8$'dir.

  Minimum değer verildiği için, parabolün kolları yukarı doğru olmalıdır, bu da '$a$' katsayısının pozitif ($a > 0$) olması gerektiğini gösterir.

  Böylece tepe noktamızın koordinatları $(x_v, y_v) = (3, -8)$ olarak belirlenmiş oldu.

• 4. Adım: '$a$' katsayısını bulma

  Tepe noktası $(3, -8)$ parabolün üzerinde olduğu için, bu noktayı ilk yazdığımız genel denklemde yerine koyarak '$a$' değerini bulabiliriz:

  $y = a(x - 1)(x - 5)$

  $-8 = a(3 - 1)(3 - 5)$

  $-8 = a(2)(-2)$

  $-8 = -4a$

  $a = \frac{-8}{-4}$

  $a = 2$

  Gördüğümüz gibi, '$a$' değeri $2$ çıktı ve bu pozitif bir değerdir, bu da parabolün kollarının yukarı doğru olduğunu ve bir minimum değere sahip olduğunu doğrular.

• 5. Adım: Parabolün denklemini tepe noktası formunda yazma

  Parabolün tepe noktası formu $y = a(x - x_v)^2 + y_v$ şeklindedir. Bulduğumuz $a = 2$, $x_v = 3$ ve $y_v = -8$ değerlerini bu formülde yerine koyalım:

  $y = 2(x - 3)^2 + (-8)$

  $y = 2(x - 3)^2 - 8$

  Bu, parabolün aradığımız denklemidir.

• 6. Adım: Seçeneklerle karşılaştırma

  Bulduğumuz denklem $y = 2(x - 3)^2 - 8$ şeklindedir. Seçeneklere baktığımızda, bu denklemin A seçeneği ile aynı olduğunu görürüz.

Cevap A seçeneğidir.