Üçgende diklik merkezi nedir Test 2

ABC üçgeninin diklik merkezi H noktasıdır. m(∠ABC) = 40° ve m(∠ACB) = 60° olduğuna göre, m(∠BHC) kaç derecedir?

A) 80
B) 100
C) 120
D) 140

Bu soruda, bir üçgenin diklik merkezi ve açıları arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Adım adım ilerleyerek çözüme ulaşalım:

• 1. Üçgenin Üçüncü Açısını Bulalım:

  Öncelikle, $ABC$ üçgeninin iç açıları toplamının $180^\circ$ olduğunu biliyoruz. Bize verilen açılar $m(\angle ABC) = 40^\circ$ ve $m(\angle ACB) = 60^\circ$'dir.

  Bu durumda, üçüncü açı olan $m(\angle BAC)$'yi şu şekilde buluruz:

  $m(\angle BAC) = 180^\circ - m(\angle ABC) - m(\angle ACB)$

  $m(\angle BAC) = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ$

  $m(\angle BAC) = 180^\circ - 100^\circ$

  $m(\angle BAC) = 80^\circ$

• 2. Diklik Merkezini Anlayalım:

  H noktası, $ABC$ üçgeninin diklik merkezidir. Diklik merkezi, bir üçgenin yüksekliklerinin kesişim noktasıdır. Yani, H noktasından geçen doğrular, üçgenin kenarlarına diktir.

  Şimdi, $B$ köşesinden $AC$ kenarına indirilen yüksekliğe $BE$ diyelim ($E \in AC$) ve $C$ köşesinden $AB$ kenarına indirilen yüksekliğe $CF$ diyelim ($F \in AB$). Bu durumda, $BE \perp AC$ ve $CF \perp AB$ olur. H noktası, $BE$ ve $CF$ doğrularının kesişim noktasıdır.

• 3. Oluşan Dörtgeni İnceleyelim:

  Şekilde $A$, $F$, $H$, $E$ noktalarını birleştirdiğimizde bir $AFHE$ dörtgeni oluşur. Bu dörtgenin açılarını inceleyelim:

  $CF \perp AB$ olduğu için $m(\angle AFH) = 90^\circ$.

  $BE \perp AC$ olduğu için $m(\angle AEH) = 90^\circ$.

  Bir dörtgenin iç açıları toplamı $360^\circ$'dir. $AFHE$ dörtgeninde:

  $m(\angle FAE) + m(\angle AFH) + m(\angle FHE) + m(\angle HEA) = 360^\circ$

  $m(\angle BAC) + 90^\circ + m(\angle FHE) + 90^\circ = 360^\circ$

  $m(\angle BAC) + m(\angle FHE) + 180^\circ = 360^\circ$

  $m(\angle BAC) + m(\angle FHE) = 180^\circ$

• 4. Ters Açıları Kullanarak Sonuca Ulaşalım:

  $BE$ ve $CF$ doğruları H noktasında kesiştiği için, $m(\angle FHE)$ ile $m(\angle BHC)$ açıları ters açılardır. Ters açılar birbirine eşittir.

  Yani, $m(\angle FHE) = m(\angle BHC)$'dir.

  Önceki adımda bulduğumuz ilişkiyi kullanarak:

  $m(\angle BAC) + m(\angle BHC) = 180^\circ$

  İlk adımda $m(\angle BAC) = 80^\circ$ bulmuştuk. Bu değeri yerine yazalım:

  $80^\circ + m(\angle BHC) = 180^\circ$

  $m(\angle BHC) = 180^\circ - 80^\circ$

  $m(\angle BHC) = 100^\circ$

Böylece $m(\angle BHC)$ açısının $100^\circ$ olduğunu bulmuş olduk.

Cevap B seçeneğidir.