Soru:
Bir ABC üçgeninde, kenar orta dikmelerin kesişim noktası olan çevrel çemberin merkezi O noktasıdır. ABC üçgeni eşkenar üçgen ve bir kenarı 12 cm ise, çevrel çemberin yarıçapı (|OA|) kaç cm'dir?
Çözüm:
💡 Eşkenar üçgende ağırlık merkezi, iç teğet çemberin merkezi, diklik merkezi ve çevrel çemberin merkezi aynı noktada çakışır. Eşkenar üçgenin çevrel çember yarıçapı formülü \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \) şeklindedir.
- ➡️ Eşkenar üçgenin bir kenarı a = 12 cm verilmiş.
- ➡️ Çevrel çemberin yarıçapı formülü: \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \).
- ➡️ Değerleri yerine koyalım: \( R = \frac{12}{\sqrt{3}} \).
- ➡️ Paydayı rasyonel yapalım: \( R = \frac{12}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \) cm.
- ➡️ Alternatif yol: Eşkenar üçgende yükseklik \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) cm'dir. Ağırlık merkezi (aynı zamanda O noktası) kenarortayı 2:1 oranında böler. Köşeden O noktasına olan uzaklık, kenarortayın 2/3'ü kadardır. Yani \( |OA| = \frac{2}{3} \cdot h = \frac{2}{3} \cdot 6\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \) cm.
✅ Sonuç: Çevrel çemberin yarıçapı \( |OA| = 4\sqrt{3} \) cm'dir.
