Soru:
Bir \( ABC \) dik üçgeninde \( \widehat{B} = 90^\circ \)'dir. \( AB = 12 \) cm ve \( BC = 16 \) cm olduğuna göre, \( B \) köşesinden çizilen kenarortayın uzunluğu kaç cm'dir?
Çözüm:
💡 Bu soru dikkatli okunmalı! B köşesi dik açı olduğu için, bu köşeden çizilen kenarortay hipotenüs olan \( [AC] \)'ye değil, \( [AC] \)'nin karşısındaki \( B \) köşesinden çıktığı için \( [B H_b] \) doğru parçasıdır ve \( H_b \), \( [AC] \) kenarının orta noktasıdır. Yani bu kenarortay aslında hipotenüse ait değildir.
- ➡️ Önce hipotenüs \( AC \)'yi bulalım. Pisagor Teoremi: \( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)
- ➡️ \( AC^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 \)
- ➡️ \( AC = \sqrt{400} = 20 \) cm
- ➡️ \( B \) köşesinden \( [AC] \) kenarına çizilen kenarortayın uzunluğunu bulmak için, \( AC \)'nin orta noktası \( H_b \)'yi buluruz ve \( BH_b \) uzunluğunu hesaplarız. Ancak \( \widehat{B} = 90^\circ \) olduğundan, \( BH_b \) kenarortayı aynı zamanda bir medyandır ve dik üçgende sadece hipotenüse ait kenarortayın özel bir kuralı vardır. Bu kenarortay için özel bir kural yoktur, standart kenarortay uzunluğu formülünü kullanırız: \( V_b = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} \), burada \( b \) kenarı \( V_b \) kenarortayının indiği kenardır (yani \( AC \)).
- ➡️ Kenarları tanımlayalım: \( a = BC = 16 \) cm, \( b = AC = 20 \) cm, \( c = AB = 12 \) cm.
- ➡️ \( V_b \) (yani \( AC \) kenarına inen kenarortay) formülü: \( V_b = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2c^2 - b^2} \)
- ➡️ \( V_b = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot (16)^2 + 2 \cdot (12)^2 - (20)^2} \)
- ➡️ \( V_b = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 256 + 2 \cdot 144 - 400} = \frac{1}{2} \sqrt{512 + 288 - 400} = \frac{1}{2} \sqrt{400} = \frac{1}{2} \cdot 20 \)
✅ Sonuç: \( V_b = 10 \) cm'dir.
