Soru:
Asal çarpanları 2, 3 ve 5 olan iki basamaklı bir sayı, aşağıdakilerden hangisi ile kesinlikle tam bölünür?
Çözüm:
💡 Bu sayılar \( 2^a \times 3^b \times 5^c \) formundadır. Seçeneklerdeki sayıları asal çarpanlarına ayırarak, bu formdaki her sayının onlara bölünüp bölünmeyeceğini kontrol edeceğiz.
- ➡️ Adım 1: Seçenekleri asal çarpanlarına ayıralım:
- A) 12 = \( 2^2 \times 3 \)
- B) 18 = \( 2 \times 3^2 \)
- C) 20 = \( 2^2 \times 5 \)
- D) 45 = \( 3^2 \times 5 \)
- ➡️ Adım 2: Bizim sayımızın formu \( 2^a \times 3^b \times 5^c \). Bu sayının bir başka sayıya tam bölünebilmesi için, bölenin asal çarpanlarının tümünü ve onların kuvvetlerini karşılaması gerekir.
- ➡️ Adım 3: Her seçeneği inceleyelim:
- A) 12: 12'nin asal çarpanları 2 ve 3'tür. Bizim sayımızda her zaman 2 ve 3 çarpanı vardır (a ve b en az 1'dir). Bu nedenle sayımız 12'ye kesinlikle bölünür.
- B) 18: 18 için \( 3^2 \) gerekir. Bizim sayımızda b=1 olma ihtimali vardır (örneğin 30). O zaman 18'e bölünmez.
- C) 20: 20 için \( 2^2 \) gerekir. Bizim sayımızda a=1 olma ihtimali vardır (örneğin 30). O zaman 20'ye bölünmez.
- D) 45: 45 için \( 3^2 \) gerekir. Yine b=1 olma ihtimalinden dolayı kesin değildir.
✅ Sonuç: Asal çarpanları 2, 3 ve 5 olan her iki basamaklı sayı (30, 60, 90) 12'ye tam bölünür. Cevap A) 12'dir.
