Soru:
\( a \) ve \( b \) birer doğal sayıdır. \( \frac{a}{4} > \frac{3}{b} \) eşitsizliğini sağlayan en küçük \( a \) ve \( b \) değerlerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu soruda iki bilinmeyen var. Eşitsizliği sağlayan en küçük değerleri deneyerek bulacağız.
- ➡️ Önce \( b \)'nin en küçük doğal sayı değerini düşünelim. \( b \) bir payda olduğu için 1 olabilir.
Eşitsizlik: \( \frac{a}{4} > \frac{3}{1} \) yani \( \frac{a}{4} > 3 \) olur.
Buradan \( a > 12 \) bulunur. En küçük \( a \) değeri 13'tür.
- ➡️ Ancak soru en küçük \( a \) ve \( b \) değerlerini istiyor. Belki \( b \)'yi 1'den büyük seçersek \( a \) daha küçük çıkabilir.
- ➡️ \( b = 2 \) deneyelim: \( \frac{a}{4} > \frac{3}{2} \) → \( a > 6 \) → En küçük \( a = 7 \)
- ➡️ \( b = 3 \) deneyelim: \( \frac{a}{4} > \frac{3}{3} \) → \( \frac{a}{4} > 1 \) → \( a > 4 \) → En küçük \( a = 5 \)
- ➡️ \( b = 4 \) deneyelim: \( \frac{a}{4} > \frac{3}{4} \) → \( a > 3 \) → En küçük \( a = 4 \)
- ➡️ \( b = 5 \) ve sonrasında da \( a \) değeri 4'ten küçük olmaz. (Örn: \( b=5 \), \( a>2.4 \) → en küçük \( a=3 \) olurdu ama \( \frac{3}{4} \) ile \( \frac{3}{5} \) karşılaştırıldığında \( \frac{3}{4} > \frac{3}{5} \) olduğu için eşitsizlik sağlanır. Yani \( a=3, b=5 \) için \( \frac{3}{4} > \frac{3}{5} \) doğrudur.)
- ➡️ Kontrol edelim: \( a=3 \) ve \( b=5 \) için \( \frac{3}{4} = 0.75 \) ve \( \frac{3}{5} = 0.6 \). \( 0.75 > 0.6 \) olduğu için eşitsizlik sağlanır. Bu, bulabildiğimiz en küçük \( a \) değeridir.
✅ Sonuç: Eşitsizliği sağlayan en küçük değerler \( a = 3 \) ve \( b = 5 \)'tir.
