Soru:
\( \sqrt{5} \) ile \( \sqrt{10} \) sayıları arasında en az bir rasyonel sayı olduğunu gösteriniz.
Çözüm:
💡 İki farklı gerçek sayı arasında sonsuz tane rasyonel sayı vardır. Bunu göstermek için sayıların ondalık açılımlarını veya aritmetik ortalamalarını kullanabiliriz.
- ➡️ İlk adım: Verilen sayıların yaklaşık değerlerini bulalım. \( \sqrt{5} \approx 2.236 \) ve \( \sqrt{10} \approx 3.162 \).
- ➡️ İkinci adım: Bu iki sayının aritmetik ortalamasını alarak aralarındaki bir rasyonel sayıyı bulabiliriz. Ortalama = \( \frac{\sqrt{5} + \sqrt{10}}{2} \).
- ➡️ Üçüncü adım: Bu ortalama değer her iki sayıdan da büyük ve küçük olduğu için (\( \sqrt{5} < \frac{\sqrt{5} + \sqrt{10}}{2} < \sqrt{10} \)) aradığımız koşulu sağlar.
✅ Sonuç olarak, \( \frac{\sqrt{5} + \sqrt{10}}{2} \) sayısı \( \sqrt{5} \) ile \( \sqrt{10} \) arasında yer alan bir rasyonel sayıdır.
