Soru:
Yerden 45 m yükseklikte, balondan bir cisim serbest bırakılıyor. Balon sabit \( 5 \) m/s hızla yükselmekte olduğuna göre, cismin yere çarpma hızı kaç m/s olur? (g = 10 m/s², hava direnci önemsizdir.)
Çözüm:
💡 Cisim balondan bırakıldığı anda, balonun hızına sahiptir. Yani ilk hızı yukarı yönde \( v_0 = +5 \) m/s'dir. Bu bir serbest düşme değil, düşey atış hareketidir.
- ➡️ Cismin yere düşme hareketini inceleyelim. Yerden yükseklik \( h = -45 \) m'dir (başlangıç noktası balon olduğu için).
- Yer değiştirme formülü: \( h = v_0t - \frac{1}{2}gt^2 \)
- \( -45 = 5t - \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot t^2 \)
- \( -45 = 5t - 5t^2 \)
- Her tarafı 5'e bölelim: \( -9 = t - t^2 \)
- \( t^2 - t - 9 = 0 \)
- ➡️ Diskriminant ile t'yi bulalım: \( \Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-9) = 1 + 36 = 37 \)
- \( t = \frac{1 \pm \sqrt{37}}{2} \). Zaman pozitif olmalı: \( t = \frac{1 + \sqrt{37}}{2} \) s (Yaklaşık 3.54 s)
- ➡️ Yere çarpma hızı için: \( v = v_0 - gt \)
- \( v = 5 - 10 \cdot \frac{1 + \sqrt{37}}{2} \)
- \( v = 5 - 5(1 + \sqrt{37}) \)
- \( v = 5 - 5 - 5\sqrt{37} \)
- \( v = -5\sqrt{37} \) m/s
- Hızın negatif olması aşağı yönü gösterir. Büyüklüğü \( 5\sqrt{37} \) m/s'dir.
✅ Sonuç: Cismin yere çarpma hızının büyüklüğü \( 5\sqrt{37} \) m/s veya yaklaşık 30.4 m/s'dir.
