Soru:
Uzunluğu 1.5 m olan bir ipin ucuna bağlı 0.5 kg kütleli bir cisim, düşey düzlemde sabit hızla döndürülüyor. Cismin en üst noktadan geçerken ipin kopmaması için minimum hızı 3 m/s olarak hesaplanıyor. Buna göre, ipin dayanabileceği maksimum gerilme kuvveti kaç Newton'dur? (g = 10 m/s²)
Çözüm:
💡 Düşey dairesel harekette en üst noktada, merkezcil kuvveti sağlayan net kuvvet \( F_{net} = T + mg \) değil, \( F_{net} = T + mg = \frac{mv^2}{r} \) şeklindedir. Minimum hızda ip gevşer, yani T=0 olur. Bizden istenen, bu minimum hız bilgisiyle ipin kopma (maksimum gerilme) değerini bulmaktır. İpin kopacağı an, en alt noktadaki gerilmenin maksimum olduğu andır.
- ➡️ 1. Adım - En Üst Nokta için Merkezcil Kuvvet: Minimum hızda (v_üst = 3 m/s) T=0'dır. Formül: \( mg = \frac{m \cdot v_üst^2}{r} \). Buradan merkezcil ivmeyi kontrol edelim: \( \frac{v_üst^2}{r} = \frac{9}{1.5} = 6 \) m/s². Bu, g=10'dan küçük olduğu için sistem düzgün dairesel hareket yapmaz (bu bir ön koşul sorusudur). Soruda verilen "minimum hız" ipin kopması için değil, hareketin devamı içindir. Biz en alt noktadaki gerilmeyi bulacağız. Bunun için enerji korunumundan en alt noktadaki hızı bulmalıyız.
- ➡️ 2. Adım - Enerjinin Korunumu: En üst noktadan en alt noktaya geçerken mekanik enerji korunur. En üst noktadaki hız 3 m/s verilmiş. \( \frac{1}{2}mv_alt^2 = \frac{1}{2}mv_üst^2 + mg(2r) \)
\( \frac{1}{2}v_alt^2 = \frac{1}{2}(3)^2 + (10)(3) \)
\( \frac{1}{2}v_alt^2 = 4.5 + 30 \)
\( \frac{1}{2}v_alt^2 = 34.5 \)
\( v_alt^2 = 69 \)
- ➡️ 3. Adım - En Alt Noktadaki Gerilme Kuvveti: En alt noktada merkezcil kuvvet: \( T - mg = \frac{m \cdot v_alt^2}{r} \)
\( T = mg + \frac{m \cdot v_alt^2}{r} \)
\( T = (0.5 \cdot 10) + \frac{0.5 \cdot 69}{1.5} \)
\( T = 5 + \frac{34.5}{1.5} \)
\( T = 5 + 23 = 28 \)
✅ Sonuç olarak, ipin dayanabileceği maksimum gerilme kuvveti 28 N'dur.
