10. Sınıf Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler

Question

Bu konuda trigonometrik oranların (sinüs, kosinüs, tanjant) tanımını anlıyorum ama özdeşliklere geldiğimde hangi formülü nerede kullanacağımı karıştırıyorum. Özellikle sorularda sin²x + cos²x = 1 özdeşliğini kullanmakta zorlanıyorum, soruyu hangi adımlarla çözmem gerektiğini tam oturtamadım.

Answer 1

Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar

Bir dik üçgende, bir dar açının trigonometrik oranları, kenar uzunlukları arasındaki belirli oranlarla tanımlanır. Bu oranlar üç tanedir: sinüs (sin), kosünüs (cos) ve tanjant (tan).

Tanımlar

Aşağıdaki üçgende \( \alpha \) dar açısını ele alalım:

• Karşı Dik Kenar: Açının gördüğü, açının karşısında bulunan dik kenardır.
• Komşu Dik Kenar: Açının oluştuğu dik kenardır.
• Hipotenüs: Dik açının karşısındaki, en uzun kenardır.

Trigonometrik oranlar şu şekilde tanımlanır:

• Sinüs (sin): Karşı dik kenarın hipotenüse oranıdır.
  \( \sin(\alpha) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \)
• Kosinüs (cos): Komşu dik kenarın hipotenüse oranıdır.
  \( \cos(\alpha) = \frac{\text{Komşu Dik Kenar}}{\text{Hipotenüs}} \)
• Tanjant (tan): Karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır.
  \( \tan(\alpha) = \frac{\text{Karşı Dik Kenar}}{\text{Komşu Dik Kenar}} \)

Önemli Not: Bu oranlar sadece açının büyüklüğüne bağlıdır. Üçgenin boyutu değişse bile, aynı dar açı için bu oranlar her zaman aynı kalır.

Temel Trigonometrik Özdeşlikler

Trigonometrik oranlar arasında her zaman doğru olan matematiksel eşitliklere trigonometrik özdeşlikler denir. Bunlardan en temel olanı, Pisagor Teoremi'nden türetilen özdeşliktir.

Pisagor Özdeşliği

Bir dik üçgende Pisagor Teoremi'ne göre:
\( (\text{Karşı Kenar})^2 + (\text{Komşu Kenar})^2 = (\text{Hipotenüs})^2 \)
Bu eşitliğin her iki tarafını hipotenüsün karesine bölelim:
\( \frac{(\text{Karşı Kenar})^2}{(\text{Hipotenüs})^2} + \frac{(\text{Komşu Kenar})^2}{(\text{Hipotenüs})^2} = 1 \)
Buradan temel özdeşliğe ulaşırız:
\( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \)

Tanjant Özdeşliği

Tanjantın tanımını hatırlayalım:
\( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \)

Özet: Temel Özdeşlikler

• \( \sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1 \)
• \( \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \)
• \( 1 + \tan^2(\alpha) = \frac{1}{\cos^2(\alpha)} \) (Bu özdeşlik, birinci özdeşliğin her iki tarafı \( \cos^2(\alpha) \) ile bölünerek elde edilir.)

Uyarı: Bu özdeşlikler, açılar dik üçgenin dar açıları olduğu sürece geçerlidir. Daha sonraki konularda bu özdeşliklerin tüm açılar için genişletildiğini göreceksiniz.

Answer 2

10. Sınıf Dik Üçgende Trigonometrik Oranlar ve Trigonometrik Özdeşlikler Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC dik üçgeninde, A açısı 90° dir. |AB| = 6 cm ve |AC| = 8 cm olduğuna göre, sin(B) + cos(C) ifadesinin değeri kaçtır?
a) 1.2
b) 1.4
c) 1.6
d) 1.8
e) 2.0
Cevap: c) 1.6
Çözüm: Önce hipotenüs |BC|'yi Pisagor teoreminden buluruz: |BC| = √(6² + 8²) = √(36+64) = √100 = 10 cm. B açısına göre, sin(B) = karşı dik kenar / hipotenüs = |AC| / |BC| = 8/10 = 0.8. C açısına göre, cos(C) = komşu dik kenar / hipotenüs = |AC| / |BC| = 8/10 = 0.8. Toplamları 0.8 + 0.8 = 1.6'dır.

Soru 2: Aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?
a) sin(2x) = 2sin(x)
b) cos²(x) - sin²(x) = 1
c) tan(x) = sin(x) / cos(x)
d) sin(90° - x) = cos(90° - x)
e) sin²(x) + cos²(x) = tan(x)
Cevap: c) tan(x) = sin(x) / cos(x)
Çözüm: Tanjant fonksiyonunun temel tanımı, karşı dik kenarın komşu dik kenara oranıdır ve bu da sinüsün kosinüse oranına eşittir. a) seçeneği yalnızca özel durumlarda doğrudur. b) seçeneği yanlıştır, doğrusu cos²(x) - sin²(x) = cos(2x)'tir. d) seçeneği genelde doğru değildir. e) seçeneği yanlıştır, doğrusu sin²(x) + cos²(x) = 1'dir.

Soru 3: Birim çember üzerinde, apsis değeri ordinat değerinin 2 katına eşit olan bir nokta bulunmaktadır. Bu noktanın orijine olan uzaklığı 1 birim olduğuna göre, bu noktaya karşılık gelen açının kosinüs değeri (cos(θ)) kaçtır?
a) 1/√5
b) 2/√5
c) √5/2
d) 1/2
e) 1
Cevap: b) 2/√5
Çözüm: Birim çemberde bir nokta (cos(θ), sin(θ)) şeklindedir. Soruda verilenlere göre, cos(θ) = 2sin(θ). Ayrıca birim çember denklemi sin²(θ) + cos²(θ) = 1'dir. cos(θ) yerine 2sin(θ) yazarsak: sin²(θ) + (2sin(θ))² = 1 → sin²(θ) + 4sin²(θ) = 1 → 5sin²(θ) = 1 → sin²(θ) = 1/5 → sin(θ) = 1/√5. Bu durumda cos(θ) = 2 * (1/√5) = 2/√5 olur.