Matematikte ve mantıkta önerme, hipotez ve hüküm kavramları sıkça kullanılır. Bu terimler, matematiksel ifadelerin yapısını anlamamızı sağlar.
Önerme, doğru ya da yanlış kesin bir hüküm bildiren ifadelerdir. Önermelerin bir doğruluk değeri (doğru veya yanlış) vardır.
Hipotez, bir teorem veya önermede doğru kabul edilen kısımdır. Bir ifadenin ispatında başlangıç noktası olarak alınır.
Hüküm, hipoteze dayanarak ulaşılan sonuçtur. Bir teoremde kanıtlanmak istenen kısımdır.
Bir teorem genellikle "Eğer ... ise, ... dır." şeklinde ifade edilir:
Bu durumda, "Eğer bir sayı çift ise, 2'ye tam bölünür." ifadesi bir teoremdir.
Soru 1: "Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 derecedir." ifadesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) Bu bir hipotezdir çünkü test edilebilir bir önermedir.
b) Bu bir hükümdür çünkü matematiksel bir gerçeği ifade eder.
c) Bu bir önermedir ancak doğruluğu kanıtlanmamıştır.
d) Bu bir aksiyomdur çünkü ispatsız kabul edilir.
e) Bu bir varsayımdır çünkü geometrinin temelidir.
Cevap: b) Hüküm - Çünkü kanıtlanmış matematiksel bir gerçeği ifade eder.
Soru 2: "Eğer bir sayı 4'e bölünebiliyorsa, o sayı çifttir." önermesinin hükmü aşağıdakilerden hangisidir?
a) Sayının 4'e bölünebilmesi
b) Sayının çift olması
c) Sayının asal olması
d) Sayının tek olması
e) Hiçbiri
Cevap: b) Hüküm, "o sayı çifttir" kısmıdır çünkü sonucu ifade eder.
Soru 3: "Mars'ta yaşam varsa, sıvı su bulunmalıdır." ifadesindeki hipotez nedir?
a) Mars'ta yaşam olması
b) Sıvı su bulunması
c) Mars'ın atmosferi
d) Yaşamın suya bağlı olması
e) Hiçbiri
Cevap: a) Hipotez, "Mars'ta yaşam varsa" kısmıdır çünkü test edilebilir bir varsayımdır.
Soru 4: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) denkleminin kökleri tamsayı ise, bu bir önerme midir?
a) Evet, çünkü doğruluğu kontrol edilebilir.
b) Hayır, çünkü denklemdir.
c) Evet, ancak hipotez de içerir.
d) Hayır, çünkü hüküm belirtmez.
e) Sadece kökler bulununca önerme olur.
Cevap: a) Önermedir çünkü "kökler tamsayıdır" ifadesinin doğruluğu araştırılabilir.
1. Bir önermenin doğru veya yanlış olmasına göre aldığı değere _______ denir.
2. "Eğer \( x > 5 \) ise, \( x^2 > 25 \)" önermesinde "\( x > 5 \)" kısmına _______ denir.
3. "Tüm insanlar ölümlüdür." ifadesi bir _______ örneğidir.
4. ( ) Hipotez, bir önermenin sonuç kısmıdır.
5. ( ) "2 + 2 = 5" bir önermedir.
6. ( ) Hüküm, koşullu önermelerde "ise" kelimesinden sonra gelen kısımdır.
7. ( ) "Bir sayı çift ise, 2'ye tam bölünür." cümlesindeki "Bir sayı çift ise" kısmı.
8. ( ) "Dünya yuvarlaktır." ifadesi.
9. ( ) "\( a = b \) ise, \( a^2 = b^2 \)" önermesindeki "\( a^2 = b^2 \)" kısmı.
10. Bir koşullu önerme yazınız ve hipotez ile hükmünü belirtiniz.
11. Doğruluk değeri "yanlış" olan bir önerme örneği veriniz.
12. Aşağıdakilerden hangisi bir önerme değildir?
a) "Bugün hava güzel."
b) "Matematik zor bir derstir."
c) "Hemen buraya gel!"
d) "Su 100°C'de kaynar."
Cevaplar:
1: doğruluk değeri
2: hipotez
3: önerme
4: Yanlış
5: Doğru
6: Doğru
7: B
8: A
9: C
10: (Öğrenci cevabı)
11: (Öğrenci cevabı)
12: c
1. "Bir önermenin doğru veya yanlış olmasına o önermenin ________ denir."
2. "Henüz kanıtlanmamış ancak doğruluğu tahmin edilen ifadelere ________ adı verilir."
3. "Bir teoremde 'Eğer A ise B' şeklindeki kısım ________ olarak adlandırılır."
4. ( ) Her hipotez bir önermedir.
5. ( ) Hüküm, teoremin kanıtlanan kısmıdır.
6. ( ) "Tüm kuşlar uçar" ifadesi bir hipotez örneğidir.
7. ( ) "Bir üçgenin iç açıları toplamı 180°'dir."
8. ( ) "Eğer bir sayı çift ise 2'ye tam bölünür."
9. ( ) "Riemann hipotezi çözülürse asal sayıların dağılımı anlaşılacak."
10. Önerme ile hipotez arasındaki farkı bir cümleyle yazınız.
11. "Eğer x > 5 ise x² > 25'tir" ifadesindeki hipotez ve hükmü belirtiniz.
12. Aşağıdakilerden hangisi önerme değildir?
a) 3 + 2 = 5
b) Bu soruyu çözebilir misin?
c) İstanbul Türkiye'nin başkentidir
d) \( \sqrt{4} = 2 \)
Cevaplar:
1: doğruluk değeri
2: hipotez
3: hipotez
4: D
5: D
6: Y
7: A
8: B
9: B
10: Önermenin doğruluk değeri bellidir, hipotez kanıt bekler.
11: Hipotez: x > 5, Hüküm: x² > 25
12: b
Soru 1: "Bir üçgenin iç açılarının toplamı 180°'dir." ifadesi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
a) Bu bir hipotezdir çünkü test edilebilir bir önermedir.
b) Bu bir hükümdür çünkü matematiksel bir gerçeği ifade eder.
c) Bu bir önermedir çünkü doğruluğu veya yanlışlığı kesindir.
d) Bu bir hipotezdir çünkü henüz ispatlanmamıştır.
e) Bu bir önermedir çünkü yoruma açık bir ifadedir.
Cevap: b) Bu bir hükümdür çünkü matematiksel bir gerçeği ifade eder. Çözüm: Hüküm, kesin olarak kanıtlanmış doğru önermelerdir.
Soru 2: "Bitkiler, günde en az 8 saat güneş ışığı alırsa daha hızlı büyür." ifadesi için aşağıdakilerden hangisi söylenebilir?
a) Bu bir önermedir çünkü doğruluğu kesindir.
b) Bu bir hipotezdir çünkü test edilebilir ve yanlışlanabilir bir iddiadır.
c) Bu bir hükümdür çünkü bilimsel olarak kanıtlanmıştır.
d) Bu bir önermedir çünkü yoruma açık değildir.
e) Bu bir hükümdür çünkü evrensel bir gerçeği ifade eder.
Cevap: b) Bu bir hipotezdir çünkü test edilebilir ve yanlışlanabilir bir iddiadır. Çözüm: Hipotezler, henüz kanıtlanmamış ancak test edilebilir bilimsel iddialardır.
Soru 3: Aşağıdaki ifadelerden hangisi önerme özelliği taşımaz?
a) Ankara, Türkiye'nin başkentidir.
b) En güzel mevsim sonbahardır.
c) \(2 + 3 = 5\)
d) Su, 100°C'de kaynar.
e) Dünya, Güneş'in etrafında döner.
Cevap: b) En güzel mevsim sonbahardır. Çözüm: Önermelerin doğruluğu veya yanlışlığı kesin olmalıdır. "Güzel" subjektif bir yargıdır.
