9. Sınıf Öteleme Dönüşümü ve Özellikleri Nedir, Örnekleri ve formülleri

Question

"Öteleme dönüşümünde bir şeklin konumunu x ve y ekseninde kaydırıyoruz ama boyutları ve şekli değişmiyor. Örneğin, bir üçgeni sağa 3 birim, yukarı 2 birim ötelersek formülü (x+3, y+2) oluyor. Fakat hangi durumlarda öteleme yapılır ve formüllerde işaretleri nasıl belirleyeceğim konusunda kafam karışıyor."

Answer 1

Öteleme Dönüşümü Nedir?

Öteleme dönüşümü, bir şeklin konumunu değiştirmeden, yalnızca belirli bir yönde ve miktarda kaydırılmasıdır. Bu dönüşümde şeklin boyutu, açıları ve yönü korunur, sadece yeri değişir.

Ötelemenin Özellikleri

• Yön ve uzunluk: Öteleme, bir vektör ile tanımlanır (örneğin, sağa 3 birim, yukarı 2 birim).
• Birebir eşleme: Her nokta yeni bir noktaya taşınır ve hiçbiri çakışmaz (öteleme miktarı sıfır değilse).
• Doğrular korunur: Ötelenmiş doğrular orijinalleriyle paraleldir.

Matematiksel Gösterim (Formül)

Bir \( A(x, y) \) noktası, \( \vec{v} = (a, b) \) vektörü kadar ötelenirse, yeni nokta \( A'(x', y') \):

\[ x' = x + a \\ y' = y + b \]

Örnekler

• Örnek 1: \( A(2, 5) \) noktasını \( \vec{v} = (3, -1) \) kadar öteleyin.

  Çözüm: \( A'(2+3, 5+(-1)) = A'(5, 4) \).

• Örnek 2: Bir üçgenin köşeleri \( (1, 2) \), \( (4, 3) \), \( (2, 6) \) ise ve \( \vec{v} = (-2, 4) \) kadar ötelenirse yeni köşeler:

  \( (1-2, 2+4) = (-1, 6) \), \( (4-2, 3+4) = (2, 7) \), \( (2-2, 6+4) = (0, 10) \).

Uyarılar

Ötelemede dönme veya boyut değişimi olmaz. Sadece konum kayması gerçekleşir.

Answer 2

9. Sınıf Öteleme Dönüşümü ve Özellikleri Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. Bir noktanın \( (a, b) \) kadar ötelenmesi sonucu yeni koordinatları \( (x + \underline{\quad}, y + \underline{\quad}) \) olur.

2. Öteleme dönüşümünde şeklin boyutları ve açıları \underline{\quad} değişmez.

Doğru/Yanlış

3. Öteleme dönüşümünde şeklin yönü değişir. (D/Y)

4. \( (3, -2) \) vektörüyle ötelenen bir noktanın x koordinatı 3 artar. (D/Y)

Eşleştirme

• A. \( (5, 1) \) vektörüyle öteleme
• B. \( (-2, 4) \) vektörüyle öteleme
• C. Orijinal konum

5. \( (x, y) \) → \( (x-2, y+4) \)

6. \( (x, y) \) → \( (x, y) \)

Açık Uçlu

7. \( (2, -3) \) noktasını \( (-1, 5) \) vektörüyle ötelediğinizde yeni koordinatı nedir?

8. Bir üçgenin köşeleri \( A(1, 2) \), \( B(4, 1) \), \( C(3, 5) \). \( (2, -3) \) kadar ötelenirse yeni koordinatlarını yazınız.

Kısa Test

9. Hangi vektör \( (0, 0) \) noktasını \( (-4, 7) \) yapar?

a) \( (4, -7) \) b) \( (-4, 7) \) c) \( (7, -4) \)

10. Öteleme sonucu aşağıdakilerden hangisi değişmez?

a) Konum b) Alan c) Yön

Cevaplar:

1: a, b

2: korunur

3: Y

4: D

5: B

6: C

7: \( (1, 2) \)

8: \( A'(3, -1) \), \( B'(6, -2) \), \( C'(5, 2) \)

9: b

10: b

Answer 3

9. Sınıf Öteleme Dönüşümü ve Özellikleri Çözümlü Test Soruları

Soru 1: A(3, -2) noktası x ekseni boyunca 5 birim sağa, y ekseni boyunca 4 birim aşağı öteleniyor. Yeni konumu aşağıdakilerden hangisidir?
a) (8, -6)
b) (-2, 2)
c) (8, 2)
d) (5, 4)
e) (3, -2)
Cevap: a) (8, -6)
Çözüm: Öteleme formülü \( (x+a, y+b) \) şeklindedir. x ekseninde +5, y ekseninde -4 öteleme yapılır: \( (3+5, -2-4) = (8, -6) \)

Soru 2: Bir üçgenin köşe noktaları A(1, 3), B(4, 1) ve C(2, 5) şeklindedir. Bu üçgen x ekseninde -2 birim, y ekseninde +3 birim ötelenirse yeni alanı kaç birimkare olur?
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
Cevap: a) 5
Çözüm: Öteleme işlemi alanı değiştirmez. İlk alan hesaplanır: \( \frac{|(1(1-5)+4(5-3)+2(3-1))|}{2} = 5 \) birimkare.

Soru 3: \( y = 2x^2 - 4x + 1 \) parabolü x ekseninde +1 birim, y ekseninde -2 birim ötelenirse yeni denklem aşağıdakilerden hangisi olur?
a) \( y = 2(x-1)^2 - 4x - 1 \)
b) \( y = 2(x+1)^2 - 4(x+1) - 1 \)
c) \( y = 2(x-1)^2 - 4(x-1) - 1 \)
d) \( y = 2x^2 - 4x - 1 \)
e) \( y = 2(x-1)^2 - 4(x+1) + 3 \)
Cevap: c) \( y = 2(x-1)^2 - 4(x-1) - 1 \)
Çözüm: Öteleme için x yerine \( (x-1) \), y yerine \( (y+2) \) yazılır: \( y+2 = 2(x-1)^2 - 4(x-1) + 1 \) → \( y = 2(x-1)^2 - 4(x-1) - 1 \).