Sayı Doğrusu ile Mutlak Değerli Aralıkların Gösterimi Test 2

|2x + 4| ≤ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) [-2, 2]
B) {-2}
C) (-∞, -2] ∪ [2, ∞)
D) Boş küme

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda mutlak değer içeren bir eşitsizliği çözmemiz isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• Mutlak Değerin Temel Özelliğini Hatırlayalım:

  Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusu üzerindeki sıfıra olan uzaklığını ifade eder. Uzaklık asla negatif olamaz. Bu nedenle, herhangi bir gerçek sayı $a$ için mutlak değer her zaman sıfıra eşit veya sıfırdan büyüktür. Yani, $|a| \ge 0$ kuralı her zaman geçerlidir.

• Eşitsizliği İnceleyelim:

  Bize verilen eşitsizlik $|2x + 4| \le 0$ şeklindedir. Yukarıda belirttiğimiz gibi, bir ifadenin mutlak değeri asla negatif olamaz (yani, sıfırdan küçük olamaz). Bu durumda, $|2x + 4|$ ifadesinin sıfırdan küçük olma ihtimali yoktur.

• Tek Olasılığı Belirleyelim:

  Madem ki $|2x + 4|$ ifadesi sıfırdan küçük olamaz, o zaman eşitsizliğin sağlanabilmesi için geriye tek bir ihtimal kalır: $|2x + 4|$ ifadesinin sıfıra eşit olması. Yani, $|2x + 4| = 0$ olmalıdır.

• Denklemi Çözelim:

  Bir mutlak değer ifadesinin sonucu sıfır ise, mutlak değerin içindeki ifade de sıfır olmak zorundadır. Bu durumda, $2x + 4 = 0$ denklemini çözmemiz gerekir.

  • $2x + 4 = 0$
  • $2x = -4$ (Eşitliğin her iki tarafından $4$ çıkarıldı.)
  • $x = \frac{-4}{2}$ (Eşitliğin her iki tarafı $2$'ye bölündü.)
  • $x = -2$
• Çözüm Kümesini Belirleyelim:

  Bu eşitsizliği sağlayan tek bir $x$ değeri bulduk: $x = -2$. Dolayısıyla, çözüm kümesi sadece bu elemanı içeren bir kümedir.

  Çözüm kümesi: $\{-2\}$

• Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz çözüm kümesi $\{-2\}$ seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap B seçeneğidir.