Bir mimar, benzer üçgenler kullanarak bir binanın yüksekliğini hesaplıyor. 2 metre boyundaki bir çubuğun gölgesi 3 metre ölçülüyor. Aynı anda binanın gölgesi 45 metre olduğuna göre, binanın yüksekliği kaç metredir?
A) 30Bu soruda, benzer üçgenler prensibini kullanarak bir binanın yüksekliğini nasıl hesaplayacağımızı öğreneceğiz. Benzer üçgenler, günlük hayatta ölçülemeyen yükseklikleri veya mesafeleri bulmak için çok güçlü bir araçtır. Hadi adım adım çözelim:
Soruda bize iki farklı durumdan bahsediliyor: Öncelikle 2 metre boyundaki bir çubuk ve onun 3 metrelik gölgesi var. İkinci olarak ise bir bina ve onun 45 metrelik gölgesi bulunuyor.
Aynı anda ölçüm yapıldığı için, güneş ışınlarının hem çubuğa hem de binaya aynı açıyla geldiğini varsayarız. Bu durum, yer ile çubuk/bina ve onların gölgeleri arasında iki adet dik üçgen oluşturur. Güneş ışınlarının açısı aynı olduğu için bu iki üçgen benzer üçgenlerdir.
Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Yani, çubuğun boyunun gölgesine oranı, binanın boyunun gölgesine oranına eşit olacaktır.
Bu oranı matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz:
$ rac{\text{Çubuğun Yüksekliği}}{\text{Çubuğun Gölgesi}} = rac{\text{Binanın Yüksekliği}}{\text{Binanın Gölgesi}}$
Soruda verilen değerleri formülümüze yerleştirelim:
Çubuğun Yüksekliği = 2 metre
Çubuğun Gölgesi = 3 metre
Binanın Yüksekliği = $h$ (bilinmeyen, bulmak istediğimiz değer)
Binanın Gölgesi = 45 metre
Denklemimiz şu şekilde olur:
$ rac{2}{3} = rac{h}{45}$
Şimdi $h$ değerini bulmak için denklemi çözelim. İçler dışlar çarpımı (çapraz çarpım) yaparak $h$'yi yalnız bırakabiliriz:
$2 \times 45 = 3 \times h$
$90 = 3h$
Her iki tarafı 3'e bölelim:
$h = rac{90}{3}$
$h = 30$
Yani, binanın yüksekliği 30 metredir.
Bu tür problemler, benzerlik ilkesinin günlük hayatta ne kadar işe yaradığını gösterir. Bir nesnenin gölgesi ve yüksekliği arasındaki oran, aynı anda başka bir nesne için de geçerlidir.
Cevap A seçeneğidir.
