Bir öğrenci, iki irrasyonel sayıyı topladığında veya çarptığında sonucun her zaman irrasyonel olup olmadığını merak ediyor.
Aşağıdaki örneklerden hangisi, iki irrasyonel sayının toplamının veya çarpımının her zaman irrasyonel olmadığını gösterir?
A) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$Bu soruda, irrasyonel sayılarla ilgili önemli bir kavramı anlamamıza yardımcı olacak bir durumu inceliyoruz. İki irrasyonel sayıyı topladığımızda veya çarptığımızda sonucun her zaman irrasyonel olup olmadığını merak ediyoruz. Gelin, seçenekleri tek tek inceleyerek bu sorunun cevabını bulalım.
Öncelikle, rasyonel sayılar $p/q$ şeklinde (burada $p$ bir tam sayı ve $q$ sıfırdan farklı bir tam sayı) yazılabilen sayılardır. İrrasyonel sayılar ise bu şekilde yazılamayan, ondalık gösterimi devirli olmayan ve sonsuza kadar devam eden sayılardır. Örneğin, $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\pi$ gibi sayılar irrasyoneldir.
$\sqrt{2}$ bir irrasyonel sayıdır.
$\sqrt{3}$ bir irrasyonel sayıdır.
Bu iki irrasyonel sayının toplamı olan $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ de irrasyonel bir sayıdır. Bu toplam, rasyonel bir sayıya eşit değildir. Dolayısıyla bu seçenek, iki irrasyonel sayının toplamının her zaman irrasyonel olmadığını göstermez.
$\sqrt{2}$ bir irrasyonel sayıdır.
$\sqrt{3}$ bir irrasyonel sayıdır.
Bu iki irrasyonel sayının çarpımı $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$ olur.
$\sqrt{6}$ da bir irrasyonel sayıdır, çünkü $6$ bir tam kare değildir. Bu seçenek de iki irrasyonel sayının çarpımının her zaman irrasyonel olmadığını göstermez.
$\sqrt{2}$ bir irrasyonel sayıdır.
$-\sqrt{2}$ de bir irrasyonel sayıdır (bir irrasyonel sayının negatifi de irrasyoneldir).
Bu iki irrasyonel sayının toplamını hesaplayalım: $\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0$.
Peki, $0$ nasıl bir sayıdır? $0$ bir rasyonel sayıdır, çünkü $0 = 0/1$ şeklinde yazılabilir.
İşte bu örnek, iki irrasyonel sayının (yani $\sqrt{2}$ ve $-\sqrt{2}$) toplamının rasyonel bir sayı ($0$) olabileceğini gösterir. Bu, soruda aradığımız durumdur!
$\pi$ (pi sayısı) bir irrasyonel sayıdır.
$\sqrt{2}$ bir irrasyonel sayıdır.
Bu iki irrasyonel sayının toplamı olan $\pi + \sqrt{2}$ de irrasyonel bir sayıdır. Bu toplam, rasyonel bir sayıya eşit değildir.
Gördüğümüz gibi, C seçeneğindeki örnek, iki irrasyonel sayının toplamının her zaman irrasyonel olmadığını, aksine rasyonel olabileceğini açıkça göstermektedir.
Cevap C seçeneğidir.
