Bir firma, ürettiği ürünlerin satışından elde ettiği kârı P(x) = -x² + 40x - 300 fonksiyonu ile hesaplamaktadır. Burada x satılan ürün sayısını (bin adet), P(x) ise kârı (bin TL) göstermektedir.
Buna göre firmanın maksimum kâr elde ettiği andaki ürün satış sayısı kaç bin adettir?
Sevgili öğrenciler,
Bu soruda, bir firmanın ürün satışından elde ettiği kârı veren bir fonksiyonumuz var ve bizden bu kârın maksimum olduğu andaki ürün satış sayısını bulmamız isteniyor. Adım adım bu problemi nasıl çözeceğimizi inceleyelim:
Bize verilen kâr fonksiyonu $P(x) = -x^2 + 40x - 300$ şeklindedir. Burada $x$ satılan ürün sayısını (bin adet), $P(x)$ ise kârı (bin TL) göstermektedir.
Bu fonksiyon, ikinci dereceden bir fonksiyondur (parabol). İkinci dereceden fonksiyonlar $ax^2 + bx + c$ genel formuna sahiptir. Bizim fonksiyonumuzda:
$a = -1$ (çünkü $x^2$'nin katsayısı -1'dir)
$b = 40$ (çünkü $x$'in katsayısı 40'tır)
$c = -300$ (sabit terim -300'dür)
Önemli Not: $x^2$'nin katsayısı ($a$) negatif olduğunda (yani $a < 0$), parabol aşağı doğru açılır. Bu tür parabollerin bir tepe noktası vardır ve bu tepe noktası fonksiyonun alabileceği en büyük (maksimum) değeri temsil eder. Bizim problemimizde de maksimum kârı aradığımız için bu durum bizim için çok uygun!
Bir parabolün maksimum veya minimum değerini bulmak için tepe noktasının koordinatlarını kullanırız. Tepe noktasının x-koordinatı, fonksiyonun maksimum veya minimum değerini aldığı $x$ değerini verir. Bu x-koordinatı için formül şöyledir:
$x = -\frac{b}{2a}$
Şimdi bu formülü, bizim kâr fonksiyonumuzdaki $a$ ve $b$ değerlerini kullanarak uygulayalım. Hatırlayalım:
$a = -1$
$b = 40$
Bu değerleri formülde yerine koyarsak:
$x = -\frac{40}{2 \times (-1)}$
$x = -\frac{40}{-2}$
$x = 20$
Bulduğumuz $x = 20$ değeri, firmanın maksimum kâr elde ettiği andaki ürün satış sayısını göstermektedir. Soruda $x$'in "bin adet" cinsinden olduğu belirtilmişti.
Dolayısıyla, firma 20 bin adet ürün sattığında maksimum kârı elde edecektir.
Cevap C seçeneğidir.
