Bir mimar, kemer şeklindeki bir kapının üst kısmını f(x) = -0.5x² + 2x + 3 parabolü ile modellemiştir. Burada x metre cinsinden yatay uzaklığı, f(x) ise yerden yüksekliği göstermektedir.
Buna göre bu kapağın tepe noktasının yerden yüksekliği kaç metredir?
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir kemer şeklindeki kapının üst kısmını modelleyen bir parabol denklemi verilmiş ve bizden bu kapının tepe noktasının yerden yüksekliği isteniyor. Bir parabolün tepe noktası, onun en yüksek veya en alçak noktasını temsil eder. Bizim parabolümüzün baş katsayısı negatif olduğu için (yani $a < 0$), parabol aşağı doğru açılır ve tepe noktası en yüksek noktayı verir. İşte adım adım çözümümüz:
Bize verilen fonksiyon $f(x) = -0.5x^2 + 2x + 3$. Bu bir parabol denklemidir ve genel formu $ax^2 + bx + c$'dir. Bu denklemde, katsayıları belirleyelim:
$a = -0.5$, $b = 2$, $c = 3$.
Katsayı $a = -0.5$ negatif olduğu için, parabolün kolları aşağıya doğru bakar. Bu da demektir ki, parabolün bir tepe noktası vardır ve bu tepe noktası, kapının ulaşabileceği maksimum yüksekliği temsil eder.
Bir parabolün tepe noktasının x-koordinatı (yatay uzaklığı) $x_T = -\frac{b}{2a}$ formülü ile bulunur. Şimdi bu formülü kullanarak değerleri yerine koyalım:
$x_T = -\frac{2}{2 \cdot (-0.5)}$
$x_T = -\frac{2}{-1}$
$x_T = 2$ metre
Bu, kapının en yüksek noktasının yatayda başlangıç noktasından $2$ metre uzaklıkta olduğu anlamına gelir.
Kapının tepe noktasının yerden yüksekliğini bulmak için, bulduğumuz $x_T = 2$ değerini orijinal $f(x)$ fonksiyonunda yerine koymalıyız. Bu bize o yatay uzaklıktaki yüksekliği verecektir:
$f(2) = -0.5(2)^2 + 2(2) + 3$
$f(2) = -0.5(4) + 4 + 3$
$f(2) = -2 + 4 + 3$
$f(2) = 2 + 3$
$f(2) = 5$ metre
Böylece, kapının tepe noktasının yerden yüksekliğinin $5$ metre olduğunu buluruz.
Cevap B seçeneğidir.
