Analitik düzlemde vektörler Test 2

Analitik düzlemde \(\vec{u}\) = (3,-2) ve \(\vec{v}\) = (-1,4) vektörleri veriliyor. Buna göre \(2\vec{u} - 3\vec{v}\) işleminin sonucu nedir?

A) (3,8)
B) (9,-16)
C) (6,-4)
D) (9,8)

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, vektörlerle toplama, çıkarma ve skaler çarpma işlemlerini nasıl yapacağımızı adım adım öğreneceğiz. Vektör işlemleri, fizikte kuvvetlerin bileşkesini bulmaktan mühendislikte tasarımlara kadar birçok alanda karşımıza çıkar. Hazırsanız başlayalım!

• Verilen Vektörleri Anlayalım:

  Bize iki vektör verilmiş:

  • $\vec{u}$ = (3,-2)
  • $\vec{v}$ = (-1,4)

  Bu vektörler, analitik düzlemde başlangıç noktası orijin (0,0) olan ve bitiş noktaları sırasıyla (3,-2) ve (-1,4) olan yönlü doğru parçalarını temsil eder.

• İstenen İşlemi Belirleyelim:

  Bizden $2\vec{u} - 3\vec{v}$ işleminin sonucunu bulmamız isteniyor. Bu işlemde iki temel adım var: skaler çarpma ve vektör çıkarma.

• İlk Vektörü Skalerle Çarpalım ($2\vec{u}$):

  Bir vektörü bir skaler (sayı) ile çarpmak demek, vektörün her bir bileşenini o skalerle çarpmak demektir. Yani, $\vec{u}$ vektörünü 2 ile çarpacağız:

  $2\vec{u} = 2 \times (3,-2)$

  $2\vec{u} = (2 \times 3, 2 \times -2)$

  $2\vec{u} = (6,-4)$

• İkinci Vektörü Skalerle Çarpalım ($3\vec{v}$):

  Şimdi de $\vec{v}$ vektörünü 3 ile çarpacağız:

  $3\vec{v} = 3 \times (-1,4)$

  $3\vec{v} = (3 \times -1, 3 \times 4)$

  $3\vec{v} = (-3,12)$

• Vektörleri Çıkaralım ($2\vec{u} - 3\vec{v}$):

  Son adım olarak, bulduğumuz $2\vec{u}$ ve $3\vec{v}$ vektörlerini birbirinden çıkaracağız. Vektör çıkarma işlemi, karşılıklı bileşenlerin birbirinden çıkarılmasıyla yapılır:

  $2\vec{u} - 3\vec{v} = (6,-4) - (-3,12)$

  İlk bileşenleri çıkaralım: $6 - (-3) = 6 + 3 = 9$

  İkinci bileşenleri çıkaralım: $-4 - 12 = -16$

  Böylece işlemin sonucu:

  $2\vec{u} - 3\vec{v} = (9,-16)$

Bu adımları takip ettiğimizde, $2\vec{u} - 3\vec{v}$ işleminin sonucunu $(9,-16)$ olarak buluruz.

Cevap B seçeneğidir.