Bir fonksiyonun yatay asimptotu y = 2 ise ve fonksiyon rasyonel bir fonksiyonsa, aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) Payın derecesi paydanın derecesinden büyüktür
B) Payın derecesi paydanın derecesine eşittir
C) Payın derecesi paydanın derecesinden küçüktür
D) Pay ve paydanın başkatsayılarının oranı 2'dir
Bir rasyonel fonksiyonun yatay asimptotunu bulmak için, pay ve paydanın derecelerini karşılaştırmamız gerekir. Genel bir rasyonel fonksiyonu $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0}{b_m x^m + b_{m-1} x^{m-1} + \dots + b_0}$ şeklinde ifade edelim. Burada $n$ payın derecesi, $m$ paydanın derecesi; $a_n$ payın başkatsayısı ve $b_m$ paydanın başkatsayısıdır.
Yatay asimptot kuralları şunlardır:
- Eğer payın derecesi paydanın derecesinden büyükse ($n > m$): Fonksiyonun yatay asimptotu yoktur. Eğik (eğri) asimptotu olabilir, ancak yatay asimptotu yoktur.
- Eğer payın derecesi paydanın derecesinden küçükse ($n < m$): Fonksiyonun yatay asimptotu $y = 0$ doğrusudur.
- Eğer payın derecesi paydanın derecesine eşitse ($n = m$): Fonksiyonun yatay asimptotu, pay ve paydanın başkatsayılarının oranıdır. Yani, $y = \frac{a_n}{b_m}$ doğrusudur.
Şimdi sorudaki bilgiyi değerlendirelim: Fonksiyonun yatay asimptotu $y = 2$ olarak verilmiştir.
- Yatay asimptot $y = 2$ olduğuna göre, bu değer $0$'dan farklı bir sabittir.
- Bu durum, yukarıdaki kurallardan sadece üçüncüsü ile uyumludur. Yani, payın derecesi paydanın derecesine eşit olmalıdır ($n = m$). Eğer $n > m$ olsaydı yatay asimptot olmazdı. Eğer $n < m$ olsaydı yatay asimptot $y = 0$ olurdu.
- Dolayısıyla, payın derecesi paydanın derecesine eşit olmak zorundadır. Bu da B seçeneğinin doğru olduğunu gösterir.
- Ayrıca, payın derecesi paydanın derecesine eşit olduğunda, yatay asimptot pay ve paydanın başkatsayılarının oranıdır. Yani $y = \frac{a_n}{b_m}$ olmalıdır.
- Soruda yatay asimptotun $y = 2$ olduğu verildiğine göre, bu oran $2$'ye eşit olmalıdır: $\frac{a_n}{b_m} = 2$. Bu da D seçeneğinin doğru olduğunu gösterir.
Hem B hem de D seçenekleri doğru gibi görünse de, soruda "kesinlikle doğrudur" ifadesi kullanılmıştır ve D seçeneği, verilen $y=2$ bilgisini daha eksiksiz bir şekilde yansıtır.
- Eğer D seçeneği doğruysa (yani başkatsayılar oranı $2$ ise), bu durum ancak pay ve paydanın dereceleri eşit olduğunda yatay asimptotu $y=2$ yapar. Dereceler eşit olmasaydı, bu oran yatay asimptotu belirlemezdi. Dolayısıyla D seçeneği, B seçeneğini (derecelerin eşit olması) kendi içinde barındırır ve $y=2$ bilgisini doğrudan kullanır.
- Eğer sadece B seçeneği doğru olsaydı (yani dereceler eşit olsaydı), başkatsayılar oranı $2$ olmak zorunda olmazdı; $3$, $5$ veya başka bir sayı da olabilirdi. Bu durumda yatay asimptot $y=2$ olmazdı.
Bu nedenle, yatay asimptotun $y=2$ olduğu bilgisiyle en kesin ve tam olarak doğru olan ifade, başkatsayılar oranının $2$ olmasıdır.
Cevap D seçeneğidir.
