Asimptot nedir Test 2

lim┬(x→∞)〖(5x³ - 2x² + 1)/(2x³ + 3x - 4)〗 limitinin değeri nedir?

A) 0
B) 1
C) 5/2
D) ∞

Sorumuz: $ \lim_{x\to\infty} \frac{5x^3 - 2x^2 + 1}{2x^3 + 3x - 4} $ limitinin değeri nedir?

• Adım 1: Fonksiyonun Yapısını Anlama

• Öncelikle, limitini alacağımız fonksiyon bir rasyonel fonksiyondur, yani iki polinomun oranı şeklindedir. $x$ sonsuza giderken ($x \to \infty$) bu tür fonksiyonların limitini bulmak için özel bir yöntem kullanırız.

  Fonksiyonumuz: $ f(x) = \frac{5x^3 - 2x^2 + 1}{2x^3 + 3x - 4} $

• Adım 2: Pay ve Paydadaki En Yüksek Dereceli Terimi Belirleme

• Hem paydaki (üstteki) hem de paydadaki (alttaki) polinomun en yüksek dereceli terimini ve bu terimin derecesini belirlemeliyiz.

  Pay (üst kısım): $ 5x^3 - 2x^2 + 1 $. Bu polinomdaki en yüksek dereceli terim $ 5x^3 $ 'tür ve derecesi $ 3 $ 'tür.

  Payda (alt kısım): $ 2x^3 + 3x - 4 $. Bu polinomdaki en yüksek dereceli terim $ 2x^3 $ 'tür ve derecesi $ 3 $ 'tür.

  Gördüğümüz gibi, hem payın hem de paydanın dereceleri eşittir ($3$).

• Adım 3: Pay ve Paydadaki Her Terimi En Yüksek Dereceli Terime Bölme

• Limit alma işlemini kolaylaştırmak için, hem paydaki hem de paydadaki her terimi, belirlediğimiz en yüksek dereceli terim olan $ x^3 $ 'e böleriz. Bu işlem, fonksiyonun değerini değiştirmez, sadece ifadesini basitleştirir.

  Payı $ x^3 $ 'e bölelim:

  $ \frac{5x^3 - 2x^2 + 1}{x^3} = \frac{5x^3}{x^3} - \frac{2x^2}{x^3} + \frac{1}{x^3} = 5 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3} $

  Paydayı $ x^3 $ 'e bölelim:

  $ \frac{2x^3 + 3x - 4}{x^3} = \frac{2x^3}{x^3} + \frac{3x}{x^3} - \frac{4}{x^3} = 2 + \frac{3}{x^2} - \frac{4}{x^3} $

  Şimdi limitini alacağımız ifade şu şekli aldı:

  $ \lim_{x\to\infty} \frac{5 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}}{2 + \frac{3}{x^2} - \frac{4}{x^3}} $

• Adım 4: Limit Alma İşlemini Uygulama

• Şimdi $ x \to \infty $ limitini bu yeni ifadeye uygulayalım. Limit kurallarından biliyoruz ki, bir sabit sayının $ x^n $ 'e bölümünün $ x \to \infty $ iken limiti $ 0 $ 'dır (yani $ \lim_{x\to\infty} \frac{c}{x^n} = 0 $).

  Payın limiti: $ \lim_{x\to\infty} (5 - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}) = 5 - 0 + 0 = 5 $

  Paydanın limiti: $ \lim_{x\to\infty} (2 + \frac{3}{x^2} - \frac{4}{x^3}) = 2 + 0 - 0 = 2 $

• Adım 5: Sonucu Bulma

• Payın ve paydanın limitlerini bulduğumuza göre, şimdi bu limitleri birbirine bölerek nihai sonucu elde edebiliriz:

  $ \frac{\text{Payın Limiti}}{\text{Paydanın Limiti}} = \frac{5}{2} $

• Ek Bilgi: Pratik Kural

• Rasyonel bir fonksiyonun $ x \to \infty $ limitinde, eğer pay ve paydanın dereceleri eşitse (bizim örneğimizde her ikisi de $3$ idi), limit doğrudan en yüksek dereceli terimlerin katsayılarının oranıdır.

  Paydaki en yüksek dereceli terimin katsayısı: $ 5 $

  Paydadaki en yüksek dereceli terimin katsayısı: $ 2 $

  Limit: $ \frac{5}{2} $

  Bu pratik kural, yukarıdaki uzun adımların bir sonucudur ve hızlıca doğru cevaba ulaşmanızı sağlar.

Bu durumda, limitin değeri $ \frac{5}{2} $ 'dir.

Cevap C seçeneğidir.