Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür cebirsel ifadeleri sadeleştirirken, genellikle çarpanlara ayırma yöntemini kullanırız. Adım adım ilerleyelim:
- Öncelikle, verilen ifadeyi daha basit hale getirmek için pay ve paydadaki terimleri çarpanlarına ayıralım.
- İlk kesrin payı $x^2-5x+6$ ifadesidir. Bu bir ikinci dereceden üç terimlidir. Çarpımları $6$ ve toplamları $-5$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $-2$ ve $-3$'tür. Dolayısıyla, $x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)$ şeklinde çarpanlarına ayrılır.
- İlk kesrin paydası $x^2-9$ ifadesidir. Bu, iki kare farkı özdeşliğidir ($a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$). Burada $a=x$ ve $b=3$'tür. Dolayısıyla, $x^2-9 = (x-3)(x+3)$ şeklinde çarpanlarına ayrılır.
- Şimdi, bu çarpanlara ayrılmış halleri orijinal ifadeye yerleştirelim:
$$\frac{(x-2)(x-3)}{(x-3)(x+3)} \cdot \frac{x+3}{x-2}$$
- İfadeyi bu şekilde yazdıktan sonra, çarpma işleminde pay ve paydada ortak olan terimleri sadeleştirebiliriz. Unutmayın, bir terimi sadeleştirebilmek için hem payda hem de paydada bulunması gerekir.
- İfadeye dikkatlice baktığımızda, $(x-3)$ terimi ilk kesrin hem payında hem de paydasında bulunmaktadır. Bu terimleri sadeleştirebiliriz.
- Aynı şekilde, $(x+3)$ terimi ilk kesrin paydasında ve ikinci kesrin payında bulunmaktadır. Bu terimleri de sadeleştirebiliriz.
- Son olarak, $(x-2)$ terimi ilk kesrin payında ve ikinci kesrin paydasında bulunmaktadır. Bu terimleri de sadeleştirebiliriz.
- Tüm sadeleştirmeleri yaptıktan sonra elimizde kalan ifade şudur:
$$\frac{\cancel{(x-2)}\cancel{(x-3)}}{\cancel{(x-3)}\cancel{(x+3)}} \cdot \frac{\cancel{(x+3)}}{\cancel{(x-2)}} = 1$$
- Gördüğünüz gibi, tüm terimler sadeleşti ve geriye sadece $1$ kaldı.
Cevap A seçeneğidir.
