Bu tür cebirsel ifadelerde bölme işlemi yaparken, öncelikle ifadeleri çarpanlarına ayırmak ve bölme işlemini çarpmaya dönüştürmek en etkili yoldur. Adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Bölme İşlemini Çarpma İşlemine Dönüştürme
- Kesirlerde bölme işlemi yaparken, bölen kesri ters çevirip çarparız. Yani, $\frac{A}{B} \div \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}$ kuralını uygularız.
- Verilen ifadeyi bu kurala göre düzenleyelim:
- $$\frac{2x^2-x-1}{x^2-1} \div \frac{2x+1}{x+1} = \frac{2x^2-x-1}{x^2-1} \cdot \frac{x+1}{2x+1}$$
- Adım 2: İfadeleri Çarpanlarına Ayırma
- Şimdi her bir terimi çarpanlarına ayıralım:
- Birinci kesrin payı: $2x^2-x-1$
- Bu bir ikinci dereceden üç terimli ifadedir. Çarpanlarına ayırmak için çarpımları $2 \cdot (-1) = -2$ ve toplamları $-1$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $-2$ ve $1$'dir.
- $2x^2-x-1 = 2x^2-2x+x-1 = 2x(x-1)+1(x-1) = (2x+1)(x-1)$
- Birinci kesrin paydası: $x^2-1$
- Bu ifade iki kare farkıdır ($a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$).
- $x^2-1 = (x-1)(x+1)$
- İkinci kesrin payı ve paydası: $x+1$ ve $2x+1$
- Bu ifadeler zaten en sade hallerindedir.
- Adım 3: Çarpanlarına Ayrılmış İfadeleri Yerine Yazma
- Şimdi çarpanlarına ayrılmış hallerini çarpma işlemindeki yerlerine yazalım:
- $$\frac{(2x+1)(x-1)}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{x+1}{2x+1}$$
- Adım 4: Sadeleştirme Yapma
- Çarpım durumundaki ifadelerde, pay ve paydada ortak olan terimleri sadeleştirebiliriz.
- $(2x+1)$ terimi hem payda hem de paydada var, sadeleşir.
- $(x-1)$ terimi hem payda hem de paydada var, sadeleşir.
- $(x+1)$ terimi hem payda hem de paydada var, sadeleşir.
- (Bu sadeleştirmeleri yaparken $x \neq 1$, $x \neq -1$ ve $x \neq -\frac{1}{2}$ olduğunu varsayıyoruz, çünkü bu değerler paydaları sıfır yapar ve ifadeyi tanımsız kılar.)
- $$\frac{\cancel{(2x+1)}\cancel{(x-1)}}{\cancel{(x-1)}\cancel{(x+1)}} \cdot \frac{\cancel{(x+1)}}{\cancel{(2x+1)}} = 1$$
- Adım 5: Sonucu Belirleme
- Tüm sadeleştirmeler yapıldıktan sonra geriye $1$ kalır.
Cevap D seçeneğidir.
