10. Sınıf EBOB ve EKOK Nasıl Hesaplanır? Test 1

Bir okulda 180 erkek, 240 kız öğrenci vardır. Öğrenciler eşit sayıda ve karma olacak şekilde gruplara ayrılacaktır.
Buna göre en az kaç grup oluşturulabilir?

A) 7
B) 12
C) 15
D) 20

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu problemde, belirli sayıda erkek ve kız öğrenciyi, her grupta eşit sayıda öğrenci olacak ve gruplar karma (hem erkek hem de kız öğrenci içeren) olacak şekilde ayırmamız isteniyor. Amacımız, oluşturulabilecek en az grup sayısını bulmak.

• Adım 1: Problemi Anlayalım ve Hedefimizi Belirleyelim

  Elimizde 180 erkek ve 240 kız öğrenci var. Bu öğrencileri gruplara ayıracağız. Grupların iki temel özelliği olacak:

  • Her grupta eşit sayıda öğrenci olacak.
  • Her grup karma olacak (yani hem erkek hem de kız öğrenci içerecek).

  Bizden istenen ise, bu koşulları sağlayan en az grup sayısını bulmak.

• Adım 2: "En Az Grup" İçin Ne Yapmalıyız?

  Eğer en az sayıda grup oluşturmak istiyorsak, her grubun içindeki öğrenci sayısını maksimum yapmalıyız. Yani, her gruba mümkün olan en fazla öğrenciyi yerleştirmeliyiz.

• Adım 3: Maksimum Öğrenci Sayısını Nasıl Buluruz?

  Her gruptaki öğrenci sayısı eşit olmalı ve bu gruplar hem erkek hem de kız öğrencilerden oluşmalı. Bu durumda, her gruptaki öğrenci sayısı, hem erkek öğrenci sayısının (180) hem de kız öğrenci sayısının (240) ortak bir böleni olmalıdır. En fazla öğrenciyi bulmak için ise bu sayıların En Büyük Ortak Böleni (EBOB)'ni bulmalıyız.

• Adım 4: EBOB'u Hesaplayalım

  180 ve 240 sayılarının EBOB'unu bulalım:

  • 180 sayısının asal çarpanları: $180 = 2 \times 90 = 2^2 \times 45 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1$
  • 240 sayısının asal çarpanları: $240 = 2 \times 120 = 2^2 \times 60 = 2^3 \times 30 = 2^4 \times 15 = 2^4 \times 3^1 \times 5^1$
  • EBOB, ortak asal çarpanların en küçük üslerini alarak bulunur:
  • $\text{EBOB}(180, 240) = 2^{\min(2,4)} \times 3^{\min(2,1)} \times 5^{\min(1,1)}$
  • $\text{EBOB}(180, 240) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$

  Yani, her grupta 60 öğrenci olacaktır. Bu, her grupta olabilecek en yüksek öğrenci sayısıdır.

• Adım 5: Toplam Grup Sayısını Bulalım

  Toplam öğrenci sayısı $180 + 240 = 420$'dir.

  Her grupta 60 öğrenci olacağına göre, toplam grup sayısı şu şekilde bulunur:

  • Toplam Grup Sayısı = (Toplam Öğrenci Sayısı) / (Her Gruptaki Öğrenci Sayısı)
  • Toplam Grup Sayısı = $420 / 60 = 7$

  Böylece, 7 grup oluşturulabilir. Her grupta 60 öğrenci olacak ve bu gruplar karma olacaktır (örneğin, her grupta 25 erkek ve 35 kız öğrenci olabilir, toplamda 7 grup için $7 \times 25 = 175$ erkek ve $7 \times 35 = 245$ kız öğrenci; bu sayılar toplam erkek ve kız öğrenci sayısına yakın ve dağıtılabilir).

Cevap A seçeneğidir.