Bir hareketlinin konum-zaman fonksiyonu
\[ s(t) = \begin{cases}
t^3, & t < 1 \\
at^2 + bt, & t \geq 1
\end{cases} \]
şeklinde modelleniyor. Bu fonksiyon \( t = 1 \) anında türevli olduğuna göre \( a \cdot b \) çarpımı kaçtır?
A) 2
B) 3
C) 4
D) 6
Bu soruyu çözmek için, bir parçalı fonksiyonun belirli bir noktada türevli olabilmesi için sağlaması gereken iki temel koşulu adım adım incelemeliyiz:
- Fonksiyonun o noktada sürekli olması gerekir.
- Fonksiyonun o noktadaki sol ve sağ türevlerinin birbirine eşit olması gerekir.
Verilen fonksiyon:
$ s(t) = \begin{cases} t^3, & t < 1 \\ at^2 + bt, & t \geq 1 \end{cases} $
Bu fonksiyonun $ t = 1 $ anında türevli olduğu belirtilmiştir.
- Adım 1: Süreklilik Koşulunu Uygulama
- Bir fonksiyonun $ t = 1 $ noktasında sürekli olabilmesi için, $ t \to 1 $ soldan yaklaşırken limitinin, $ t \to 1 $ sağdan yaklaşırken limitinin ve fonksiyonun $ t = 1 $ noktasındaki değerinin birbirine eşit olması gerekir.
- Sol limit: $ \lim_{t \to 1^-} s(t) = \lim_{t \to 1^-} t^3 = 1^3 = 1 $
- Sağ limit: $ \lim_{t \to 1^+} s(t) = \lim_{t \to 1^+} (at^2 + bt) = a(1)^2 + b(1) = a + b $
- Fonksiyonun $ t = 1 $ noktasındaki değeri: $ s(1) = a(1)^2 + b(1) = a + b $
- Süreklilik koşulundan, bu değerlerin eşit olması gerekir: $ 1 = a + b $. Bu bizim ilk denklemimizdir.
- Adım 2: Türevlenebilirlik Koşulunu Uygulama
- Bir fonksiyonun $ t = 1 $ noktasında türevli olabilmesi için, sol türevinin sağ türevine eşit olması gerekir. Öncelikle fonksiyonun her bir parçasının türevini bulalım:
- $ t < 1 $ için $ s(t) = t^3 \implies s'(t) = 3t^2 $
- $ t \geq 1 $ için $ s(t) = at^2 + bt \implies s'(t) = 2at + b $
- Sol türev: $ \lim_{t \to 1^-} s'(t) = 3(1)^2 = 3 $
- Sağ türev: $ \lim_{t \to 1^+} s'(t) = 2a(1) + b = 2a + b $
- Türevlenebilirlik koşulundan, sol ve sağ türevler eşit olmalıdır: $ 3 = 2a + b $. Bu bizim ikinci denklemimizdir.
- Adım 3: Denklem Sistemini Çözme
- Şimdi iki denklemimizi kullanarak $ a $ ve $ b $ değerlerini bulalım:
- Denklem 1: $ a + b = 1 $
- Denklem 2: $ 2a + b = 3 $
- İkinci denklemden birinci denklemi çıkaralım:
- $ (2a + b) - (a + b) = 3 - 1 $
- $ a = 2 $
- Bulduğumuz $ a = 2 $ değerini birinci denklemde yerine koyalım:
- $ 2 + b = 1 $
- $ b = 1 - 2 $
- $ b = -1 $
- Adım 4: $ a \cdot b $ Çarpımını Hesaplama
- $ a = 2 $ ve $ b = -1 $ değerlerini bulduğumuza göre, $ a \cdot b $ çarpımını hesaplayabiliriz:
- $ a \cdot b = (2) \cdot (-1) = -2 $
Cevap D seçeneğidir.
