Parçalı fonksiyonun türevi Test 1

\( f(x) = \begin{cases} \cos x, & x \leq \pi \\ ax + b, & x > \pi \end{cases} \)
fonksiyonu \( x = \pi \) noktasında türevli olduğuna göre \( a + b \) toplamı kaçtır?

A) -1
B) 0
C) 1
D) 2

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda parçalı bir fonksiyonun belirli bir noktada türevli olması koşulunu inceleyeceğiz. Bir fonksiyonun bir noktada türevli olabilmesi için iki temel şartı sağlaması gerekir:

• Süreklilik Şartı: Fonksiyon o noktada sürekli olmalıdır. Yani, o noktadaki sol limit, sağ limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır.
• Türev Şartı: Fonksiyonun o noktadaki sol türevi ile sağ türevi birbirine eşit olmalıdır.

Şimdi bu adımları tek tek uygulayarak $a$ ve $b$ değerlerini bulalım:

• Adım 1: Süreklilik Şartını Uygulayalım

  Fonksiyon $x = \pi$ noktasında sürekli olmalıdır. Bu demektir ki $ \lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} f(x) = f(\pi) $ olmalıdır.

  • Sol limit: $ \lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^-} \cos x = \cos \pi = -1 $.
  • Sağ limit: $ \lim_{x \to \pi^+} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} (ax + b) = a\pi + b $.
  • Fonksiyon değeri: $ f(\pi) = \cos \pi = -1 $ (çünkü $x \leq \pi$ dalı kullanılır).

  Süreklilik şartından dolayı sol limit ve sağ limit eşit olmalıdır:

  $ a\pi + b = -1 $ (Bu bizim ilk denklemimiz).

• Adım 2: Türev Şartını Uygulayalım

  Fonksiyon $x = \pi$ noktasında türevli olmalıdır. Bu demektir ki sol türev ile sağ türev birbirine eşit olmalıdır.

  Öncelikle parçaların türevlerini alalım:

  • $x < \pi$ için $f(x) = \cos x \implies f'(x) = -\sin x $.
  • $x > \pi$ için $f(x) = ax + b \implies f'(x) = a $.

  Şimdi $x = \pi$ noktasındaki sol ve sağ türevleri bulalım:

  • Sol türev: $ f'(\pi^-) = \lim_{x \to \pi^-} (-\sin x) = -\sin \pi = 0 $.
  • Sağ türev: $ f'(\pi^+) = \lim_{x \to \pi^+} (a) = a $.

  Türevli olma şartından dolayı sol türev ve sağ türev eşit olmalıdır:

  $ a = 0 $ (Bu bizim ikinci denklemimiz).

• Adım 3: $a$ ve $b$ Değerlerini Bulalım

  İki denklemimiz var:

  1. $ a\pi + b = -1 $
  2. $ a = 0 $

  İkinci denklemi ( $a=0$ ) birinci denklemde yerine yazarsak:

  $ (0)\pi + b = -1 $

  $ 0 + b = -1 $

  $ b = -1 $

  Böylece $a = 0$ ve $b = -1$ değerlerini bulmuş olduk.

• Adım 4: $a + b$ Toplamını Hesaplayalım

  Bizden istenen $a + b$ toplamıdır:

  $ a + b = 0 + (-1) = -1 $

Bu durumda $a + b$ toplamı $-1$ olarak bulunur.

Cevap A seçeneğidir.