Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı matematik kursuna, %70'i İngilizce kursuna katılmaktadır. Her iki kursa da katılmayan öğrenci olmadığına göre, her iki kursa katılan öğrencilerin yüzdesi kaçtır?
A) %10
B) %20
C) %30
D) %40
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu tür yüzde problemleri, günlük hayatta karşımıza çıkabilecek durumları anlamamızı sağlayan çok faydalı sorulardır. Gelin, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim.
- Adım 1: Verilen Bilgileri Anlayalım
- Sınıftaki öğrencilerin %60'ı matematik kursuna katılıyor.
- Sınıftaki öğrencilerin %70'i İngilizce kursuna katılıyor.
- En önemli bilgi: Her iki kursa da katılmayan öğrenci yok. Bu ne anlama geliyor? Bu, sınıftaki tüm öğrencilerin ($100\%$’ünün) en az bir kursa katıldığı anlamına gelir. Yani, matematik kursuna katılanlar ile İngilizce kursuna katılanların birleşimi, tüm sınıfı oluşturuyor.
- Bizden istenen: Her iki kursa da katılan öğrencilerin yüzdesi kaçtır?
- Adım 2: Kurslara Katılanların Toplam Yüzdesini Hesaplayalım
- Matematik kursuna katılanların yüzdesi ile İngilizce kursuna katılanların yüzdesini toplayalım:
- $60\% \text{ (Matematik)} + 70\% \text{ (İngilizce)} = 130\%$
- Şimdi düşünelim: Bir sınıftaki öğrencilerin toplamı $100\%$ iken, nasıl olur da kurslara katılanların toplamı $130\%$ çıkar?
- Adım 3: Fazlalığın Nereden Kaynaklandığını Bulalım
- $130\%$'lik bu toplam, $100\%$’den fazla. Bu fazlalık, tam olarak her iki kursa da katılan öğrencilerden kaynaklanıyor. Çünkü her iki kursa katılan öğrenciler, hem matematik kursu yüzdesinin içinde hem de İngilizce kursu yüzdesinin içinde olmak üzere iki kez sayılmışlardır.
- Bu fazlalık, yani $130\% - 100\%$, her iki kursa da katılan öğrencilerin yüzdesini verir.
- $130\% - 100\% = 30\%$
- Adım 4: Sonucu Belirleyelim
- Buna göre, her iki kursa da katılan öğrencilerin yüzdesi $30\%$’dir.
- Bu tür problemleri kümeler mantığıyla da düşünebiliriz. Eğer $M$ matematik kursuna katılanları, $İ$ İngilizce kursuna katılanları temsil ediyorsa, ve hiç katılmayan yoksa, o zaman $P(M \cup İ) = 100\%$ olur. Kümelerdeki birleşim formülü şöyledir: $P(M \cup İ) = P(M) + P(İ) - P(M \cap İ)$.
- Formülü kullanarak: $100\% = 60\% + 70\% - P(M \cap İ)$
- $100\% = 130\% - P(M \cap İ)$
- $P(M \cap İ) = 130\% - 100\%$
- $P(M \cap İ) = 30\%$
Cevap C seçeneğidir.
