Aritmetik dizi problemlerini çözerken, öncelikle dizinin ortak farkını ($d$) ve ilk terimini ($a_1$) bulmak önemlidir. Daha sonra, istenen terimi veya terimler toplamını hesaplamak için uygun formülleri kullanırız.
- 1. Ortak Fark ($d$) ve İlk Terim ($a_1$) Değerlerini Bulma:
- Bir aritmetik dizide $n$. terim $a_n = a_1 + (n-1)d$ formülü ile bulunur.
- Soruda bize 7. terimin 25 olduğu verilmiş: $a_7 = a_1 + (7-1)d = a_1 + 6d = 25$ (Denklem 1)
- 13. terimin 49 olduğu verilmiş: $a_{13} = a_1 + (13-1)d = a_1 + 12d = 49$ (Denklem 2)
- Bu iki denklemi kullanarak $d$ ve $a_1$ değerlerini bulalım. Denklem 2'den Denklem 1'i çıkaralım:
- $(a_1 + 12d) - (a_1 + 6d) = 49 - 25$
- $6d = 24$
- Her iki tarafı 6'ya bölersek, ortak farkı buluruz: $d = 4$
- Şimdi $d=4$ değerini Denklem 1'e yerine koyarak ilk terim $a_1$ değerini bulalım:
- $a_1 + 6(4) = 25$
- $a_1 + 24 = 25$
- $a_1 = 1$
- 2. İlk 15 Terimin Toplamı İçin Gerekli Olan 15. Terimi ($a_{15}$) Bulma:
- İlk 15 terimin toplamını bulmak için $a_1$ ve $a_{15}$ terimlerine ihtiyacımız var. $a_1$ değerini zaten bulduk ($a_1=1$). Şimdi $a_{15}$'i bulalım:
- $a_{15} = a_1 + (15-1)d = a_1 + 14d$
- $a_{15} = 1 + 14(4)$
- $a_{15} = 1 + 56$
- $a_{15} = 57$
- 3. İlk 15 Terimin Toplamını ($S_{15}$) Hesaplama:
- Bir aritmetik dizinin ilk $n$ teriminin toplamı $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ formülü ile bulunur.
- Burada $n=15$, $a_1=1$ ve $a_{15}=57$ değerlerini formülde yerine koyalım:
- $S_{15} = \frac{15}{2}(1 + 57)$
- $S_{15} = \frac{15}{2}(58)$
- $S_{15} = 15 \times 29$
- $S_{15} = 435$
Yukarıdaki adımlarla yapılan hesaplama sonucunda ilk 15 terimin toplamı $435$ olarak bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
