Rasyonel bir fonksiyonun grafiği (-2,0), (0,2) ve (1,0) noktalarından geçmektedir. Bu fonksiyon aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) \(\frac{x^2 + x - 2}{x + 1}\)
B) \(\frac{x^2 - x - 2}{x + 1}\)
C) \(\frac{x^2 + x - 2}{x - 1}\)
D) \(\frac{x^2 - x - 2}{x - 1}\)
Rasyonel bir fonksiyonun grafiğinin belirli noktalardan geçmesi demek, bu noktaların koordinatları fonksiyonda yerine yazıldığında eşitliğin sağlanması demektir. Yani, eğer fonksiyon $f(x)$ ise ve grafik $(a,b)$ noktasından geçiyorsa, $f(a) = b$ olmalıdır.
Soruda verilen noktalar: $(-2,0)$, $(0,2)$ ve $(1,0)$.
- Adım 1: x-eksenini Kesen Noktaları (x-kesenler) İnceleyelim.
- Grafiğin $(-2,0)$ ve $(1,0)$ noktalarından geçmesi demek, $f(-2)=0$ ve $f(1)=0$ olması demektir.
- Bir rasyonel fonksiyon $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ şeklinde olduğunda, $f(x)=0$ olması için pay $P(x)$ sıfır olmalı ve payda $Q(x)$ sıfır olmamalıdır.
- Bu durumda, $P(x)$'in çarpanları arasında $(x - (-2))$ yani $(x+2)$ ve $(x-1)$ bulunmalıdır.
- Şimdi seçeneklerdeki pay kısımlarını çarpanlarına ayıralım:
- $x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)$
- $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$
- Bu durumda, payı $(x+2)(x-1)$ olan seçenekler A ve C'dir. Seçenek B ve D'nin payları $(x-2)(x+1)$ olduğu için, bu fonksiyonlar $x=-2$ ve $x=1$ noktalarında sıfır değerini almazlar. Dolayısıyla B ve D seçenekleri elenir.
- Adım 2: Kalan Seçenekleri (A ve C) x-kesenler açısından daha detaylı inceleyelim.
- Seçenek A: $f(x) = \frac{x^2 + x - 2}{x + 1} = \frac{(x+2)(x-1)}{x + 1}$
- $x=-2$ için: Pay $(x+2)(-2-1) = 0 \cdot (-3) = 0$. Payda $-2+1 = -1 \neq 0$. Yani $f(-2) = \frac{0}{-1} = 0$. Bu nokta sağlanır.
- $x=1$ için: Pay $(1+2)(1-1) = 3 \cdot 0 = 0$. Payda $1+1 = 2 \neq 0$. Yani $f(1) = \frac{0}{2} = 0$. Bu nokta da sağlanır.
- Seçenek A, her iki x-kesen noktasını da sağlar.
- Seçenek C: $f(x) = \frac{x^2 + x - 2}{x - 1} = \frac{(x+2)(x-1)}{x - 1}$
- $x=-2$ için: Pay $(-2+2)(-2-1) = 0 \cdot (-3) = 0$. Payda $-2-1 = -3 \neq 0$. Yani $f(-2) = \frac{0}{-3} = 0$. Bu nokta sağlanır.
- $x=1$ için: Pay $(1+2)(1-1) = 3 \cdot 0 = 0$. Payda $1-1 = 0$. Bu durumda $\frac{0}{0}$ belirsizliği oluşur. Bu, $x=1$ noktasında fonksiyonun grafiğinde bir "boşluk" (delik) olduğu anlamına gelir. Fonksiyon $x=1$ noktasında tanımlı değildir, dolayısıyla $(1,0)$ noktasından geçemez.
- Seçenek C elenir.
- Adım 3: Kalan Seçeneği (A) y-eksenini kesen nokta (y-kesen) açısından kontrol edelim.
- Şu ana kadar sadece A seçeneği x-kesen noktalarını doğru bir şekilde sağlamıştır. Şimdi $(0,2)$ noktasını kontrol edelim.
- $f(x) = \frac{x^2 + x - 2}{x + 1}$ fonksiyonunda $x=0$ yazalım:
- $f(0) = \frac{0^2 + 0 - 2}{0 + 1} = \frac{-2}{1} = -2$.
- Bu durumda, fonksiyonun y-eksenini kestiği nokta $(0,-2)$'dir. Soruda verilen $(0,2)$ noktası ile bir farklılık bulunmaktadır. Ancak, rasyonel fonksiyon sorularında x-kesenler ve düşey asimptotlar gibi özellikler genellikle fonksiyonun ana yapısını belirlemede daha kritik rol oynar. Verilen seçenekler arasında x-kesenler koşulunu sağlayan tek seçenek A'dır. Bu tür durumlarda, genellikle x-kesenler koşulunun öncelikli olduğu kabul edilir veya sorudaki y-kesen noktasında bir yazım hatası olduğu varsayılır.
Verilen seçenekler arasında, $(-2,0)$ ve $(1,0)$ noktalarından geçen ve bu noktalarda tanımlı olan tek rasyonel fonksiyon A seçeneğidir.
Cevap A seçeneğidir.
