10. Sınıf Rasyonel Fonksiyon Grafiği ve Özellikleri Test 2

f(x) = \(\frac{3x}{x^2 - 4}\) fonksiyonunun grafiği için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) x=2 ve x=-2'de delik vardır
B) x=2 ve x=-2'de düşey asimptot vardır
C) y=3'te yatay asimptot vardır
D) Orijinden geçmez

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, verilen rasyonel fonksiyonun grafiğinin temel özelliklerini inceleyerek doğru ifadeyi bulacağız. Bir rasyonel fonksiyonun grafiğini incelerken genellikle tanım kümesi, düşey asimptotlar, delikler, yatay asimptotlar ve eksen kesişim noktaları gibi özelliklere bakarız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Fonksiyonun Tanım Kümesi ve Düşey Asimptotlar/Delikler:

  Rasyonel bir fonksiyonun tanımsız olduğu noktalar, paydasını sıfır yapan $x$ değerleridir. Bu noktalarda ya düşey asimptot ya da delik (boşluk) bulunur.

  Fonksiyonumuz $f(x) = \frac{3x}{x^2 - 4}$ olduğuna göre, paydayı sıfıra eşitleyelim:

  $x^2 - 4 = 0$

  Bu denklemi çarpanlarına ayırırsak:

  $(x-2)(x+2) = 0$

  Buradan $x=2$ veya $x=-2$ değerleri elde edilir. Bu noktalarda fonksiyon tanımsızdır.

  Şimdi bu noktaların düşey asimptot mu yoksa delik mi olduğunu belirleyelim. Bunun için payı kontrol ederiz:

  • Eğer $x=2$ veya $x=-2$ değerleri payı da sıfır yapıyorsa ve pay ile paydada ortak çarpan varsa delik oluşur.
  • Aksi takdirde (yani payı sıfır yapmıyorsa veya ortak çarpan yoksa) düşey asimptot oluşur.

  Fonksiyonun payı $3x$'tir.

  • $x=2$ için pay: $3(2) = 6 \neq 0$.
  • $x=-2$ için pay: $3(-2) = -6 \neq 0$.

  Görüldüğü gibi, $x=2$ ve $x=-2$ değerleri payı sıfır yapmadığı için ve pay ile paydada sadeleşen ortak çarpan bulunmadığı için, bu noktalarda düşey asimptotlar vardır.

  Bu durumda:

  • A seçeneği ($x=2$ ve $x=-2$'de delik vardır) yanlıştır.
  • B seçeneği ($x=2$ ve $x=-2$'de düşey asimptot vardır) doğrudur.

  • 2. Yatay Asimptotlar:

    Rasyonel bir fonksiyonun yatay asimptotunu bulmak için pay ve paydanın derecelerini (en yüksek $x$ kuvvetlerini) karşılaştırırız.

    Fonksiyonumuz $f(x) = \frac{3x}{x^2 - 4}$'tür.

    • Payın derecesi (en yüksek $x$ kuvveti) 1'dir ($3x^1$).
    • Paydanın derecesi (en yüksek $x$ kuvveti) 2'dir ($x^2$).

    Payın derecesi (1) paydanın derecesinden (2) küçük olduğunda, yatay asimptot her zaman $y=0$ doğrusudur.

    Bu durumda C seçeneği ($y=3$'te yatay asimptot vardır) yanlıştır. Yatay asimptot $y=0$'dır.

  • 3. Orijinden Geçme Durumu:

    Bir fonksiyonun grafiğinin orijinden (yani $(0,0)$ noktasından) geçip geçmediğini anlamak için $x=0$ değerini fonksiyonda yerine koyarız. Eğer $f(0)=0$ çıkarsa, grafik orijinden geçer.

    $f(0) = \frac{3(0)}{0^2 - 4} = \frac{0}{-4} = 0$.

    $f(0)=0$ olduğu için, fonksiyonun grafiği orijinden geçer.

    Bu durumda D seçeneği (Orijinden geçmez) yanlıştır.

  • 4. Sonuç:

    Yapılan tüm incelemeler sonucunda sadece B seçeneğindeki ifadenin doğru olduğu görülmüştür.

  Cevap B seçeneğidir.