Merhaba öğrenciler! Bu soruyu adım adım çözerek, pozitif tam sayı bölenleri konusunu daha iyi anlayacağız. Unutmayın, matematik pratikle daha da keyifli hale gelir!
Adım 1: Pozitif Tam Sayı Bölen Sayısı Nasıl Bulunur?
- Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış halini düşünelim: $p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot ... \cdot p_n^{a_n}$. Burada $p_1, p_2, ..., p_n$ farklı asal sayılar ve $a_1, a_2, ..., a_n$ bu asal sayıların üsleridir.
- Bu sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı $(a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot ... \cdot (a_n + 1)$ formülü ile bulunur.
Adım 2: 10 Böleni Olan Sayıları İnceleyelim
- Bölen sayısı 10 olan bir sayı arıyoruz. O halde, $(a_1 + 1) \cdot (a_2 + 1) \cdot ... = 10$ olmalı.
- 10'u çarpanlarına ayıralım: $10 = 2 \cdot 5$ veya $10 = 10$.
- Bu durumda iki farklı durum söz konusu olabilir:
- Durum 1: Sayımız tek bir asal sayının kuvveti şeklinde ise: $a_1 + 1 = 10$ olmalı. Buradan $a_1 = 9$ olur. Yani sayımız $p^9$ şeklinde olmalı. En küçük olması için $p=2$ seçeriz. Bu durumda sayımız $2^9 = 512$ olur.
- Durum 2: Sayımız iki farklı asal sayının kuvvetleri şeklinde ise: $(a_1 + 1) = 2$ ve $(a_2 + 1) = 5$ veya tam tersi olmalı. Bu durumda $a_1 = 1$ ve $a_2 = 4$ olur. Yani sayımız $p_1^1 \cdot p_2^4$ şeklinde olmalı. En küçük olması için $p_1$ ve $p_2$'yi en küçük asal sayılar seçmeliyiz.
Adım 3: En Küçük Sayıyı Bulalım
- Durum 2'deki sayıyı en küçük yapmak için iki farklı seçeneğimiz var:
- Seçenek 1: $2^4 \cdot 3^1 = 16 \cdot 3 = 48$
- Seçenek 2: $2^1 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$
- Gördüğümüz gibi, $48$, $162$'den daha küçük. Ayrıca $48$, $512$'den de küçüktür.
Adım 4: Kontrol Edelim
- 48'in bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Gerçekten de 10 tane böleni var.
Bu nedenle, pozitif tam sayı bölen sayısı 10 olan en küçük doğal sayı 48'dir.
Cevap B seçeneğidir.
