🎓 10. Sınıf Bir Sayının Pozitif Tam Sayı Bölen Sayısı Nasıl Bulunur? Test 1 - Ders Notu
Bu ders notu, bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulma konusundaki temel prensipleri, asal çarpanlara ayırmayı ve ilgili kavramları anlamana yardımcı olmak için hazırlandı. Testteki soruları çözerken bu bilgilere başvurabilirsin.
📌 1. Sayıları Asal Çarpanlarına Ayırma
Bir sayının bölenlerini bulmanın ilk adımı, o sayıyı asal çarpanlarına ayırmaktır. Asal sayılar sadece 1'e ve kendisine bölünebilen sayılardır (2, 3, 5, 7, 11...).
- Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için, sayıyı en küçük asal sayıdan başlayarak bölmeye başla.
- Bölüm artık o asal sayıya bölünmeyene kadar aynı asal sayıyla bölmeye devam et.
- Daha sonra sıradaki en küçük asal sayıya geç ve aynı işlemi tekrarla.
- Bu işleme bölüm 1 olana kadar devam et.
- Sonuç olarak sayıyı asal sayıların kuvvetleri şeklinde yazmış olacaksın. Örneğin, $A = a^x \cdot b^y \cdot c^z$ şeklinde.
Örnek: 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım.
- $72 \div 2 = 36$
- $36 \div 2 = 18$
- $18 \div 2 = 9$
- $9 \div 3 = 3$
- $3 \div 3 = 1$
Yani, $72 = 2^3 \cdot 3^2$ şeklinde yazılır.
💡 İpucu: Asal çarpanlara ayırmayı doğru yapmak, diğer tüm hesaplamaların temelidir!
🔢 2. Pozitif Tam Sayı Bölen Sayısı (PTSBS) Bulma
Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırdıktan sonra, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak çok kolaydır. Bu, testin ana konusudur.
- Sayıyı asal çarpanlarına ayır ve $A = a^x \cdot b^y \cdot c^z$ şeklinde yaz.
- Her bir asal çarpanın kuvvetini (üs) 1 artır.
- Artırdığın bu kuvvetleri birbiriyle çarp.
- Formül: $PTSBS = (x+1) \cdot (y+1) \cdot (z+1)$
Örnek: Yukarıdaki 72 sayısının ($2^3 \cdot 3^2$) pozitif tam sayı bölen sayısını bulalım.
- 2'nin kuvveti 3, 3'ün kuvveti 2.
- Kuvvetleri 1 artır: $(3+1)$ ve $(2+1)$.
- Çarpımları: $(3+1) \cdot (2+1) = 4 \cdot 3 = 12$.
Yani, 72 sayısının 12 tane pozitif tam sayı böleni vardır (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72).
⚠️ Dikkat: Bu formül sadece pozitif bölenler içindir. Negatif bölenler için ayrı bir kural vardır.
➕ 3. Tam Sayı Bölen Sayısı (TSBS) Bulma
Bir sayının tam sayı bölenleri, hem pozitif hem de negatif bölenleri içerir. Her pozitif bölenin bir de negatif karşılığı vardır.
- Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını (PTSBS) bul.
- Tam sayı bölenlerinin sayısı, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısının 2 katıdır.
- Formül: $TSBS = 2 \cdot (PTSBS)$
Örnek: 72 sayısının tam sayı bölen sayısını bulalım.
- 72'nin PTSBS'si 12 idi.
- $TSBS = 2 \cdot 12 = 24$.
Yani, 72 sayısının 24 tane tam sayı böleni vardır (12 pozitif, 12 negatif).
🔍 4. Asal Bölenler ve Asal Olmayan Bölenler
Bölenlerle ilgili sorularda bu kavramlar da sıkça karşımıza çıkar.
- Asal Bölenler: Bir sayının asal çarpanlarına ayırdığımızda elde ettiğimiz asal sayılardır. Örneğin, $72 = 2^3 \cdot 3^2$ sayısının asal bölenleri 2 ve 3'tür.
- Asal Olmayan Pozitif Bölen Sayısı: Toplam pozitif bölen sayısından asal bölenlerin sayısını çıkararak bulunur.
- Formül: Asal Olmayan Pozitif Bölen Sayısı = $PTSBS - (\text{Asal Bölen Sayısı})$
Örnek: 72 sayısının asal olmayan pozitif bölen sayısını bulalım.
- 72'nin PTSBS'si 12'dir.
- 72'nin asal bölenleri 2 ve 3 olmak üzere 2 tanedir.
- Asal Olmayan Pozitif Bölen Sayısı = $12 - 2 = 10$.
💡 İpucu: Asal bölenler, bir sayının asal çarpanlara ayrılmış halindeki tabanlardır. Kuvvetleri önemli değildir, sadece farklı asal sayıların sayısı önemlidir.
📝 Unutma, bu konuları iyi pekiştirmek için bol bol pratik yapmalısın. Başarılar dilerim!
