Bir fonksiyonun türevinin işaret tablosu aşağıda verilmiştir:
x < -1 için f'(x) > 0
-1 < x < 3 için f'(x) < 0
x > 3 için f'(x) > 0
Buna göre f(x) fonksiyonu için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) (-∞, -1) aralığında azalandır
B) (-1, 3) aralığında artandır
C) (3, ∞) aralığında azalandır
D) (-1, 3) aralığında azalandır
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir fonksiyonun türevinin işaret tablosu verilmiş ve bizden fonksiyonun kendisinin hangi aralıklarda artan veya azalan olduğunu bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözerken bilmemiz gereken temel kural, bir fonksiyonun türevinin işaretinin, o fonksiyonun artanlık veya azalanlığı ile ilişkisidir.
-
Temel Kuralı Hatırlayalım:
- Eğer bir aralıkta $f'(x) > 0$ ise, o aralıkta $f(x)$ fonksiyonu artandır.
- Eğer bir aralıkta $f'(x) < 0$ ise, o aralıkta $f(x)$ fonksiyonu azalandır.
-
Verilen Bilgileri Yorumlayalım:
Soruda bize $f'(x)$'in işaret tablosu şu şekilde verilmiş:
- $x < -1$ için $f'(x) > 0$
- $-1 < x < 3$ için $f'(x) < 0$
- $x > 3$ için $f'(x) > 0$
-
Bu Bilgileri $f(x)$ Fonksiyonunun Davranışına Çevirelim:
Yukarıdaki temel kuralı kullanarak, $f(x)$ fonksiyonunun artan veya azalan olduğu aralıkları belirleyelim:
- $x < -1$ aralığında (yani $(-\infty, -1)$ aralığında) $f'(x) > 0$ olduğu için, $f(x)$ fonksiyonu bu aralıkta artandır.
- $-1 < x < 3$ aralığında (yani $(-1, 3)$ aralığında) $f'(x) < 0$ olduğu için, $f(x)$ fonksiyonu bu aralıkta azalandır.
- $x > 3$ aralığında (yani $(3, \infty)$ aralığında) $f'(x) > 0$ olduğu için, $f(x)$ fonksiyonu bu aralıkta artandır.
-
Seçenekleri Değerlendirelim:
Şimdi bulduğumuz bu sonuçları seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $(-\infty, -1)$ aralığında azalandır: Biz $f(x)$'in bu aralıkta artan olduğunu bulduk. Dolayısıyla bu seçenek yanlıştır.
- B) $(-1, 3)$ aralığında artandır: Biz $f(x)$'in bu aralıkta azalan olduğunu bulduk. Dolayısıyla bu seçenek yanlıştır.
- C) $(3, \infty)$ aralığında azalandır: Biz $f(x)$'in bu aralıkta artan olduğunu bulduk. Dolayısıyla bu seçenek yanlıştır.
- D) $(-1, 3)$ aralığında azalandır: Biz $f(x)$'in bu aralıkta azalan olduğunu bulduk. Bu seçenek doğrudur.
Cevap D seçeneğidir.
