10. Sınıf Artan ve Azalan Fonksiyonlar Test 2

f(x) = \frac{x² - 1}{x² + 1} fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun artan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?

A) (-∞, -1)
B) (-1, 0)
C) (0, 1)
D) (0, ∞)

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir fonksiyonun artan olduğu aralığı bulmamız isteniyor. Bir fonksiyonun artan olduğu aralığı bulmak için, o fonksiyonun birinci türevini alıp pozitif olduğu yerleri incelememiz gerekir. Hadi adımları takip edelim:

• Adım 1: Fonksiyonun artan olduğu aralığı bulmak için türevini almamız gerektiğini hatırlayalım.

  Bir fonksiyonun artan olduğu aralıkları bulmak için, o fonksiyonun birinci türevinin pozitif olduğu yerleri incelememiz gerekir. Yani $f'(x) > 0$ eşitsizliğini çözmeliyiz.

• Adım 2: Fonksiyonun türevini (birinci türevini) alalım.

  Verilen fonksiyon $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$ bir bölüm fonksiyonudur. Bölüm türevi kuralını hatırlayalım: Eğer $h(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$ ise, $h'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$ olur.

  • Burada $u(x) = x^2 - 1$. Bu durumda $u'(x) = 2x$.
  • Ve $v(x) = x^2 + 1$. Bu durumda $v'(x) = 2x$.

  Şimdi bu değerleri bölüm türevi formülünde yerine yazalım:

  $f'(x) = \frac{(2x)(x^2 + 1) - (x^2 - 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$

• Adım 3: Türev ifadesini sadeleştirelim.

  Pay kısmını açalım ve benzer terimleri birleştirelim:

  $f'(x) = \frac{2x^3 + 2x - (2x^3 - 2x)}{(x^2 + 1)^2}$

  $f'(x) = \frac{2x^3 + 2x - 2x^3 + 2x}{(x^2 + 1)^2}$

  $f'(x) = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$

• Adım 4: Türevin pozitif olduğu aralığı bulalım ($f'(x) > 0$).

  Şimdi $f'(x) = \frac{4x}{(x^2 + 1)^2}$ ifadesinin ne zaman pozitif olduğunu bulmalıyız.

  $\frac{4x}{(x^2 + 1)^2} > 0$

  Bu eşitsizliği inceleyelim:

  • Paydadaki $(x^2 + 1)^2$ ifadesi her zaman pozitiftir. Çünkü $x^2 \ge 0$ olduğundan $x^2 + 1 \ge 1$ olur ve pozitif bir sayının karesi de her zaman pozitiftir. Payda asla sıfır olamaz.
  • Bu durumda, eşitsizliğin pozitif olması için sadece pay kısmının pozitif olması yeterlidir.
  • Yani $4x > 0$ olmalıdır.
• Adım 5: Eşitsizliği çözelim.

  $4x > 0$ eşitsizliğini çözdüğümüzde, her iki tarafı $4$'e bölersek:

  $x > 0$

  Bu, fonksiyonun $x > 0$ aralığında artan olduğu anlamına gelir. Başka bir deyişle, fonksiyon $(0, \infty)$ aralığında artandır.

• Adım 6: Seçeneklerle karşılaştıralım.

  Bulduğumuz aralık $(0, \infty)$'dur. Seçeneklere baktığımızda, D seçeneği $(0, \infty)$ aralığını göstermektedir.

Cevap D seçeneğidir.