Üçgende yükseklik nasıl bulunur Test 2

ABC üçgeninde |AB| = 10 cm, |BC| = 12 cm ve |AC| = 14 cm'dir. A köşesinden BC kenarına çizilen yüksekliğin uzunluğu kaç cm'dir?

A) 6
B) 6.5
C) 7
D) 8

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle bir üçgende yüksekliğin uzunluğunu nasıl bulacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Bu tür problemler, Pisagor Teoremi ve üçgenin alan formülleri gibi temel geometri bilgilerimizi pekiştirmemiz için harika fırsatlardır.

• 1. Üçgenin Kenar Uzunluklarını Belirleyelim:

  Bize verilen ABC üçgeninin kenar uzunlukları şunlardır:

  • $|AB| = c = 10$ cm
  • $|BC| = a = 12$ cm
  • $|AC| = b = 14$ cm

  Bizden A köşesinden BC kenarına çizilen yüksekliğin uzunluğu isteniyor. Bu yüksekliği $h_a$ ile gösterelim.

• 2. Yüksekliğin Ayağını Tanımlayalım ve Denklemler Oluşturalım:

  A köşesinden BC kenarına indirilen yüksekliğin BC kenarını kestiği noktaya D diyelim. Bu durumda $AD = h_a$ olur.

  D noktası BC kenarı üzerinde olduğu için, BC kenarını iki parçaya ayırır: $BD$ ve $DC$.

  $BD$ uzunluğuna $x$ diyelim. O zaman $DC$ uzunluğu $12 - x$ olacaktır.

  Şimdi elimizde iki adet dik üçgen var: $\triangle ABD$ ve $\triangle ADC$. Bu üçgenlerde Pisagor Teoremi'ni uygulayabiliriz:

  • $\triangle ABD$ için (hipotenüs $|AB|=10$):
  • $h_a^2 + x^2 = |AB|^2$
  • $h_a^2 + x^2 = 10^2$
  • $h_a^2 + x^2 = 100$ (Denklem 1)
  • $\triangle ADC$ için (hipotenüs $|AC|=14$):
  • $h_a^2 + (12-x)^2 = |AC|^2$
  • $h_a^2 + (12-x)^2 = 14^2$
  • $h_a^2 + (12-x)^2 = 196$ (Denklem 2)
• 3. Denklemleri Çözerek $x$ Değerini Bulalım:

  Şimdi bu iki denklemi kullanarak $x$ değerini bulabiliriz. Denklem 2'den Denklem 1'i çıkaralım:

  • $(h_a^2 + (12-x)^2) - (h_a^2 + x^2) = 196 - 100$
  • $(12-x)^2 - x^2 = 96$
  • Parantezi açalım: $(144 - 24x + x^2) - x^2 = 96$
  • $x^2$ terimleri birbirini götürür: $144 - 24x = 96$
  • $24x$ terimini sağa, sabit terimi sola alalım: $144 - 96 = 24x$
  • $48 = 24x$
  • $x = \frac{48}{24}$
  • $x = 2$ cm
• 4. $h_a$ Değerini Bulalım:

  Bulduğumuz $x=2$ değerini Denklem 1'de yerine koyarak $h_a$ değerini hesaplayabiliriz:

  • $h_a^2 + x^2 = 100$
  • $h_a^2 + 2^2 = 100$
  • $h_a^2 + 4 = 100$
  • $h_a^2 = 100 - 4$
  • $h_a^2 = 96$
  • $h_a = \sqrt{96}$
  • $\sqrt{96}$ sayısını kök dışına çıkaralım: $\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = \sqrt{16} \times \sqrt{6}$
  • $h_a = 4\sqrt{6}$ cm

Bu üçgenin A köşesinden BC kenarına çizilen yüksekliğinin uzunluğu $4\sqrt{6}$ cm'dir.

Cevap A seçeneğidir.