Basit harmonik hareket yapan bir cismin konumu \(x = 0,1 \cdot \sin(2\pi t)\) denklemiyle veriliyor. Cismin maksimum hızı kaç m/s'dir?
A) 0,1πMerhaba sevgili öğrenciler, basit harmonik hareket yapan bir cismin hızını bulmak için adım adım ilerleyelim. Bu tür problemlerde, verilen konum denklemini standart basit harmonik hareket denklemiyle karşılaştırmak ve ardından hız denklemini türetmek anahtar adımlardır.
Basit harmonik hareket yapan bir cismin konum denklemi genel olarak $x(t) = A \cdot \sin(\omega t + \phi)$ şeklinde ifade edilir. Burada $A$ genlik (maksimum uzanım), $\omega$ açısal frekans ve $\phi$ başlangıç faz açısıdır.
Soruda bize verilen konum denklemi: $x = 0,1 \cdot \sin(2\pi t)$
Bu denklemi standart denklemle karşılaştırdığımızda, hareketin genliği $A = 0,1$ m ve açısal frekansı $\omega = 2\pi$ rad/s olarak bulunur. Başlangıç faz açısı ise $\phi = 0$ olarak alınmıştır.
Bir cismin hız denklemi, konum denkleminin zamana göre türevi alınarak bulunur. Yani $v(t) = \frac{dx}{dt}$'dir.
Verilen konum denklemi $x(t) = A \cdot \sin(\omega t)$ (burada $A=0,1$ ve $\omega=2\pi$) olduğu için, hız denklemini bulmak için türev alalım:
$v(t) = \frac{d}{dt} (A \cdot \sin(\omega t))$
Türev alma kurallarını uyguladığımızda:
$v(t) = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega t)$
Bu denklem, basit harmonik hareket yapan cismin herhangi bir $t$ anındaki hızını verir.
Hız denklemi $v(t) = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega t)$ şeklindedir. Hızın maksimum değere ulaşması için $\cos(\omega t)$ ifadesinin alabileceği en büyük değer olan $1$ veya en küçük değer olan $-1$ olması gerekir. Hızın büyüklüğü (sürati) açısından maksimum değer, $\cos(\omega t) = \pm 1$ olduğunda gerçekleşir.
Bu durumda maksimum hızın büyüklüğü (sürati) $v_{max} = A \cdot \omega$ formülüyle hesaplanır.
İlk adımda belirlediğimiz genlik ($A$) ve açısal frekans ($\omega$) değerlerini, maksimum hız formülünde yerine koyalım:
Genlik $A = 0,1$ m
Açısal frekans $\omega = 2\pi$ rad/s
Maksimum hız formülü: $v_{max} = A \cdot \omega$
Değerleri yerine yazarsak:
$v_{max} = 0,1 \cdot (2\pi)$
$v_{max} = 0,2\pi$ m/s
Cismin maksimum hızı $0,2\pi$ m/s'dir.
Cevap B seçeneğidir.
