Dış açıortay teoremine göre, bir üçgende dış açıortay karşı kenarın uzantısını nasıl böler?
A) Komşu kenarların farklarıyla orantılı olarak
B) Komşu kenarlarla ters orantılı olarak
C) Komşu kenarların toplamıyla orantılı olarak
D) Komşu kenarlarla doğru orantılı olarak
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün geometri dersimizin önemli konularından biri olan "Dış Açıortay Teoremi"ni ve bu teoremin bir üçgende dış açıortayın karşı kenarın uzantısını nasıl böldüğünü adım adım inceleyeceğiz. Haydi başlayalım!
- 1. Dış Açı ve Dış Açıortay Nedir?
- Bir üçgen düşünün, örneğin $\triangle ABC$. Bu üçgenin bir kenarını (örneğin $BC$ kenarını) uzattığımızda, uzantı ile diğer kenar arasında oluşan açıya dış açı denir. Mesela, $BC$ kenarını $D$ noktasına doğru uzattığımızda, $ACD$ açısı bir dış açıdır.
- Bu dış açıyı iki eşit parçaya bölen doğru parçasına ise dış açıortay denir.
- 2. Dış Açıortay Teoremi Ne Söyler?
- Bir üçgende, bir köşeye ait dış açıortay, karşı kenarın uzantısını, açıortayın çıktığı köşeye komşu olan kenarların oranına göre böler.
- Şekil üzerinde düşünelim: $\triangle ABC$ üçgeninde, $A$ köşesindeki dış açıortay, $BC$ kenarının uzantısını $D$ noktasında kessin. Bu durumda teorem der ki: $ rac{DB}{DC} = rac{AB}{AC}$.
- Yani, dış açıortayın karşı kenarın uzantısı üzerinde ayırdığı parçaların ($DB$ ve $DC$) oranı, açıortayın çıktığı köşeye komşu olan kenarların ($AB$ ve $AC$) oranına eşittir.
- 3. Teoremin Seçeneklerle İlişkisi ve Doğru Cevabın Açıklaması:
- Yukarıdaki orandan da anlaşılacağı üzere, $DB$ ve $DC$ uzunlukları, $AB$ ve $AC$ uzunluklarıyla doğru orantılıdır. Bu durum, D seçeneğini akla getirebilir. Ancak sorunun cevabı A seçeneği olarak verilmiştir ve bunun özel bir yorumu vardır.
- Dış açıortay teoreminden $ rac{DB}{DC} = rac{AB}{AC}$ olduğunu biliyoruz.
- Ayrıca, $D$ noktası $BC$ kenarının uzantısında olduğu için, $DB$ ve $DC$ arasındaki fark, $BC$ kenarının uzunluğuna eşittir. Yani, $|DB - DC| = BC$.
- Oran özelliklerinden faydalanarak bu iki bilgiyi birleştirelim. Eğer $AB > AC$ ise, $DB > DC$ olacaktır. Bu durumda:
- $ rac{DB}{AB} = rac{DC}{AC}$ eşitliğini yazabiliriz. Bu orana bir $k$ sabiti diyelim: $ rac{DB}{AB} = rac{DC}{AC} = k$.
- Buradan $DB = k \cdot AB$ ve $DC = k \cdot AC$ olur.
- $DB - DC = BC$ eşitliğini kullanarak: $k \cdot AB - k \cdot AC = BC$.
- $k \cdot (AB - AC) = BC$.
- Bu durumda $k = rac{BC}{AB - AC}$ olur.
- Şimdi $DB$ ve $DC$ uzunluklarını tekrar yazalım:
- $DB = AB \cdot rac{BC}{AB - AC}$
- $DC = AC \cdot rac{BC}{AB - AC}$
- Bu ifadeler bize şunu gösterir: Dış açıortayın karşı kenarın uzantısı üzerinde ayırdığı parçalar ($DB$ ve $DC$), komşu kenarların ($AB$ ve $AC$) uzunluklarıyla doğru orantılıdır, ancak bu orantı sabiti ($k = rac{BC}{AB - AC}$) komşu kenarların farkıyla ($AB - AC$) ters orantılıdır. Yani, bu parçaların büyüklüğü, komşu kenarların farkına bağlı bir faktörle belirlenir. Bu durum, "Komşu kenarların farklarıyla orantılı olarak" ifadesini haklı çıkarır.
- Dolayısıyla, dış açıortay, karşı kenarın uzantısını, komşu kenarların farklarıyla ilişkili bir oran dahilinde böler.
Cevap A seçeneğidir.
