$a$ ve $b$ pozitif tam sayılar olmak üzere, $\text{EBOB}(a,b) = 1$ ise, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?
A) $a+b$ sayısı $a \cdot b$'ye tam bölünür.
B) $\text{EKOK}(a,b)$ sayısı $a+b$'ye tam bölünür.
C) $\text{EBOB}(a^2, b^2) = 1$
D) $\text{EKOK}(a,b) = a+b$
İşte sorunun adım adım çözümü:
Öncelikle $\text{EBOB}(a,b) = 1$ ne anlama geliyor, onu hatırlayalım. Bu, $a$ ve $b$ sayılarının 1'den başka ortak böleni olmadığı anlamına gelir. Yani $a$ ve $b$ aralarında asaldır. Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
* **A) $a+b$ sayısı $a \cdot b$'ye tam bölünür.**
Bu ifade her zaman doğru değildir. Örneğin, $a=2$ ve $b=3$ olsun. $\text{EBOB}(2,3) = 1$'dir. Ancak $a+b = 5$ ve $a \cdot b = 6$'dır. 5 sayısı 6'ya tam bölünmez.
* **B) $\text{EKOK}(a,b)$ sayısı $a+b$'ye tam bölünür.**
$\text{EKOK}(a,b)$'nin ne olduğunu hatırlayalım. Eğer $a$ ve $b$ aralarında asal ise, $\text{EKOK}(a,b) = a \cdot b$ olur. Bu durumda, ifademiz "$a \cdot b$ sayısı $a+b$'ye tam bölünür" haline gelir. Bu da her zaman doğru değildir. Yine $a=2$ ve $b=3$ örneğini alalım. $a \cdot b = 6$ ve $a+b = 5$'tir. 6 sayısı 5'e tam bölünmez.
* **C) $\text{EBOB}(a^2, b^2) = 1$**
Eğer $a$ ve $b$ aralarında asal ise, $a^2$ ve $b^2$ de aralarında asaldır. Çünkü $a$'nın ve $b$'nin asal çarpanları aynı olmayacaktır. Dolayısıyla, $\text{EBOB}(a^2, b^2) = 1$ her zaman doğrudur. Bunu şöyle düşünebiliriz: $a$ ve $b$'nin ortak böleni yoksa, karelerinin de ortak böleni olmaz.
* **D) $\text{EKOK}(a,b) = a+b$**
Eğer $a$ ve $b$ aralarında asal ise, $\text{EKOK}(a,b) = a \cdot b$ olur. Bu durumda, ifademiz "$a \cdot b = a+b$" haline gelir. Bu da her zaman doğru değildir. Örneğin, $a=2$ ve $b=3$ için $a \cdot b = 6$ ve $a+b = 5$'tir. Eşitlik sağlanmaz.
Bu durumda doğru cevap C seçeneğidir.
Cevap C seçeneğidir.
