Bu soruda, iki farklı parabolik fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulup bu değerleri toplamamız isteniyor. Paraboller, ikinci dereceden fonksiyonların grafikleridir ve kollarının yönüne göre bir tepe noktası (vertex) vardır. Bu tepe noktası, fonksiyonun en küçük veya en büyük değerini verir.
- Birinci Fonksiyon: $f(x) = x^2 - 4x + 7$
- Bu bir parabol denklemidir ($ax^2 + bx + c$ formunda). Burada $a=1$, $b=-4$, $c=7$'dir.
- $a$ katsayısı ($1$) pozitif olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur. Bu durumda fonksiyonun bir en küçük değeri vardır.
- En küçük değer, parabolün tepe noktasının y-koordinatıdır. Tepe noktasının x-koordinatı $x_v = -\frac{b}{2a}$ formülüyle bulunur.
- $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$.
- Şimdi bu $x$ değerini $f(x)$ fonksiyonuna yerine koyarak en küçük değeri bulalım:
- $f(2) = (2)^2 - 4(2) + 7 = 4 - 8 + 7 = 3$.
- Yani, $f(x)$ fonksiyonunun en küçük değeri $3$'tür.
- İkinci Fonksiyon: $g(x) = -x^2 + 6x - 5$
- Bu da bir parabol denklemidir. Burada $a=-1$, $b=6$, $c=-5$'tir.
- $a$ katsayısı ($-1$) negatif olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur. Bu durumda fonksiyonun bir en büyük değeri vardır.
- En büyük değer, parabolün tepe noktasının y-koordinatıdır. Tepe noktasının x-koordinatı yine $x_v = -\frac{b}{2a}$ formülüyle bulunur.
- $x_v = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3$.
- Şimdi bu $x$ değerini $g(x)$ fonksiyonuna yerine koyarak en büyük değeri bulalım:
- $g(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 9 - 5 = 4$.
- Yani, $g(x)$ fonksiyonunun en büyük değeri $4$'tür.
- En Küçük ve En Büyük Değerlerin Toplamı
- $f(x)$'in en küçük değeri $3$ ve $g(x)$'in en büyük değeri $4$'tür.
- Bu iki değerin toplamı: $3 + 4 = 7$.
Cevap D seçeneğidir.
