Bir geometrik serinin ilk 6 terim toplamı 189, ilk terimi 3 ve ortak çarpanı 2'dir. Buna göre bu serinin 7. terimi kaçtır?
A) 192Sevgili öğrenciler, bu soruda bir geometrik serinin özelliklerini kullanarak belirli bir terimi bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
1. Geometrik Serinin Temel Formüllerini Hatırlayalım:
Bir geometrik seride;
İlk terim $a_1$ ile gösterilir.
Ortak çarpan $r$ ile gösterilir.
$n$. terim $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ formülüyle bulunur.
İlk $n$ terim toplamı $S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$ formülüyle bulunur (eğer $r \neq 1$).
Soruda bize 7. terim ($a_7$) soruluyor. Bunun için $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ formülünü kullanacağız.
2. Verilen Bilgileri Not Edelim:
Soruda bize şu bilgiler verilmiş:
İlk terim ($a_1$) = 3
Ortak çarpan ($r$) = 2
Bize sorulan terim: 7. terim ($a_7$)
Soruda ilk 6 terim toplamının 189 olduğu bilgisi verilmiş olsa da, 7. terimi bulmak için bu bilgiye doğrudan ihtiyacımız yok. Bu bilgi, serinin tutarlılığını kontrol etmek için kullanılabilir, ancak $a_7$'yi bulmak için sadece $a_1$ ve $r$ yeterlidir.
3. 7. Terimi Bulmak İçin Formülü Uygulayalım:
$n$. terim formülü $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$ idi. Biz 7. terimi aradığımız için $n=7$ alacağız:
$a_7 = a_1 \cdot r^{7-1}$
$a_7 = a_1 \cdot r^6$
4. Verilen Değerleri Formülde Yerine Koyalım:
$a_1 = 3$ ve $r = 2$ değerlerini formüle yerleştirelim:
$a_7 = 3 \cdot 2^6$
5. Hesaplamayı Yapalım:
Önce $2^6$ değerini hesaplayalım:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$
$2^5 = 32$
$2^6 = 64$
Şimdi bu değeri $a_7$ formülünde yerine koyalım:
$a_7 = 3 \cdot 64$
$a_7 = 192$
Böylece serinin 7. teriminin 192 olduğunu bulmuş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
