Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür işçi problemlerini çözerken, her bir kişinin birim zamanda (genellikle bir günde) işin ne kadarını yaptığını bulmak, işimizi çok kolaylaştırır. Şimdi adım adım bu problemi çözelim ve mantığını kavrayalım.
- Adım 1: Her Bir Kişinin Bir Günde Yaptığı İş Miktarını Bulalım.
Bir işi tamamlamak için geçen süre verildiğinde, bir günde yapılan iş miktarı, toplam sürenin tersi olarak ifade edilir.
- Ahmet işi 12 günde bitiriyorsa, Ahmet 1 günde işin $\frac{1}{12}$'sini yapar.
- Mehmet işi 18 günde bitiriyorsa, Mehmet 1 günde işin $\frac{1}{18}$'ini yapar.
- Adım 2: İkisi Birlikte Bir Günde Ne Kadar İş Yapar?
Ahmet ve Mehmet birlikte çalıştıklarında, bir günde yaptıkları iş miktarlarını toplarız.
- İkisi birlikte 1 günde: $\frac{1}{12} + \frac{1}{18}$ kadar iş yaparlar.
- Bu kesirleri toplamak için ortak payda bulmalıyız. 12 ve 18'in en küçük ortak katı 36'dır.
- $\frac{1}{12} = \frac{1 \times 3}{12 \times 3} = \frac{3}{36}$
- $\frac{1}{18} = \frac{1 \times 2}{18 \times 2} = \frac{2}{36}$
- İkisi birlikte 1 günde: $\frac{3}{36} + \frac{2}{36} = \frac{5}{36}$ kadar iş yaparlar.
- Adım 3: İkisi Birlikte 3 Günde Ne Kadar İş Yapar?
İkisi birlikte 1 günde işin $\frac{5}{36}$'sını yapıyorsa, 3 günde yaptıkları iş miktarını bulmak için bu oranı 3 ile çarparız.
- 3 günde yapılan iş: $3 \times \frac{5}{36} = \frac{15}{36}$
- Bu kesri sadeleştirebiliriz (her iki tarafı 3'e bölerek): $\frac{15 \div 3}{36 \div 3} = \frac{5}{12}$
- Yani, ikisi birlikte 3 günde işin $\frac{5}{12}$'sini tamamlamışlardır.
- Adım 4: Kalan İş Miktarını Bulalım.
Tüm işi "1" olarak kabul ederiz. Yapılan iş miktarını tüm işten çıkararak kalan işi buluruz.
- Kalan iş: $1 - \frac{5}{12}$
- $1 = \frac{12}{12}$ olarak yazabiliriz.
- Kalan iş: $\frac{12}{12} - \frac{5}{12} = \frac{7}{12}$
- İşin $\frac{7}{12}$'si kalmıştır.
- Adım 5: Mehmet Kalan İşi Tek Başına Kaç Günde Bitirir?
Ahmet işi bıraktığına göre, kalan işi Mehmet tek başına yapacaktır. Mehmet'in 1 günde işin $\frac{1}{18}$'ini yaptığını biliyoruz. Kalan işi Mehmet'in 1 günde yaptığı iş miktarına bölerek kaç günde bitireceğini buluruz.
- Mehmet'in kalan işi bitirme süresi: $\frac{\text{Kalan İş}}{\text{Mehmet'in 1 Günde Yaptığı İş}}$
- Süre: $\frac{\frac{7}{12}}{\frac{1}{18}}$
- Kesirlerde bölme işlemi yaparken, birinci kesri ikinci kesrin tersiyle çarparız: $\frac{7}{12} \times \frac{18}{1}$
- Süre: $\frac{7 \times 18}{12}$
- Sadeleştirme yapalım (18 ve 12'yi 6'ya bölebiliriz): $\frac{7 \times (3 \times 6)}{(2 \times 6)} = \frac{7 \times 3}{2} = \frac{21}{2}$
- Süre: $10.5$ gün.
Kalan işi Mehmet tek başına $10.5$ günde bitirir.
Cevap D seçeneğidir.
