Bağımlı olaylar nedir Test 1

Bir mağazada 6 siyah, 4 beyaz gömlek vardır. Rastgele seçilen iki gömleğin farklı renklerde olma olasılığı kaçtır?

A) \( \frac{8}{15} \)
B) \( \frac{4}{15} \)
C) \( \frac{12}{25} \)
D) \( \frac{24}{45} \)

Bu problemde, bir mağazadaki gömlekler arasından rastgele iki gömlek seçtiğimizde, bu iki gömleğin farklı renklerde olma olasılığını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Toplam Gömlek Sayısını Bulma

Mağazadaki toplam gömlek sayısını belirleyelim:

Siyah gömlek sayısı: $6$

Beyaz gömlek sayısı: $4$

Toplam gömlek sayısı: $6 + 4 = 10$ gömlek.

• Adım 2: Toplam Seçim Sayısını Bulma (Örnek Uzay)

10 gömlek arasından rastgele 2 gömlek seçme kombinasyonlarının toplam sayısını bulmalıyız. Bu, kombinasyon formülü ile hesaplanır: $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Burada $n=10$ (toplam gömlek sayısı) ve $k=2$ (seçilecek gömlek sayısı).

$C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{2 \times 1 \times 8!} = \frac{10 \times 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$

Yani, 10 gömlek arasından rastgele 2 gömlek seçmenin toplam $45$ farklı yolu vardır.

• Adım 3: İstenen Durum Sayısını Bulma (Farklı Renklerde Gömlek Seçimi)

Bizden istenen durum, seçilen iki gömleğin farklı renklerde olmasıdır. Bu da demektir ki, bir siyah gömlek ve bir beyaz gömlek seçmeliyiz.

a) Bir Siyah Gömlek Seçme Sayısı:

6 siyah gömlek arasından 1 siyah gömlek seçme kombinasyonu:

$C(6, 1) = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1!5!} = \frac{6 \times 5!}{1 \times 5!} = 6$

b) Bir Beyaz Gömlek Seçme Sayısı:

4 beyaz gömlek arasından 1 beyaz gömlek seçme kombinasyonu:

$C(4, 1) = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \times 3!}{1 \times 3!} = 4$

c) Bir Siyah ve Bir Beyaz Gömlek Seçme Sayısı:

Bu iki olayı birlikte gerçekleştirmek için, bulduğumuz sayıları çarparız:

İstenen durum sayısı $= C(6, 1) \times C(4, 1) = 6 \times 4 = 24$

Yani, farklı renklerde iki gömlek seçmenin $24$ farklı yolu vardır.

• Adım 4: Olasılığı Hesaplama

Bir olayın olasılığı, istenen durum sayısının toplam durum sayısına oranıdır:

Olasılık $= \frac{\text{İstenen Durum Sayısı}}{\text{Toplam Durum Sayısı}}$

Olasılık $= \frac{24}{45}$

• Adım 5: Olasılığı Sadeleştirme

Bulduğumuz kesri en sade haline getirelim. Hem payı hem de paydayı 3 ile bölebiliriz:

$\frac{24 \div 3}{45 \div 3} = \frac{8}{15}$

Bu durumda, rastgele seçilen iki gömleğin farklı renklerde olma olasılığı $\frac{8}{15}$'tir.

Cevap A seçeneğidir.