Bir sepette 4 elma, 5 armut vardır. Sepetten rastgele alınan iki meyvenin aynı türden olma olasılığı kaçtır?
A) \( \frac{4}{9} \)Merhaba sevgili öğrenciler, bu tür olasılık sorularını adım adım çözmek her zaman en doğru yoldur. Şimdi sorumuzu dikkatlice inceleyelim ve çözüm adımlarını birlikte takip edelim.
Sepette 4 elma ve 5 armut bulunmaktadır. Toplam meyve sayısı $4 + 5 = 9$ tanedir.
9 meyve arasından rastgele 2 meyve seçme kombinasyonunu hesaplamamız gerekiyor. Bu, kombinasyon formülü $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ ile bulunur. Burada $n=9$ (toplam meyve sayısı) ve $k=2$ (seçilen meyve sayısı) dir.
$C(9, 2) = \frac{9!}{2!(9-2)!} = \frac{9!}{2!7!} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = \frac{72}{2} = 36$.
Yani, sepetten rastgele iki meyve seçmenin toplam 36 farklı yolu vardır. Bu değer, olasılık kesrimizin paydası olacaktır.
İki meyvenin aynı türden olması demek, ya ikisinin de elma olması ya da ikisinin de armut olması demektir.
4 elma arasından 2 elma seçme kombinasyonunu hesaplayalım:
$C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = \frac{12}{2} = 6$.
Yani, 6 farklı şekilde iki elma seçebiliriz.
5 armut arasından 2 armut seçme kombinasyonunu hesaplayalım:
$C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$.
Yani, 10 farklı şekilde iki armut seçebiliriz.
İki meyvenin aynı türden olma durumlarının toplam sayısı, bu iki durumun toplamıdır: $6 + 10 = 16$. Bu değer, olasılık kesrimizin payı olacaktır.
Olasılık, istenen durumların sayısının tüm olası durumların sayısına oranıdır:
Olasılık = $\frac{\text{Aynı türden iki meyve seçme sayısı}}{\text{Toplam iki meyve seçme sayısı}} = \frac{16}{36}$.
Elde ettiğimiz $\frac{16}{36}$ kesrini sadeleştirelim. Hem payı hem de paydayı 4'e bölebiliriz:
$\frac{16 \div 4}{36 \div 4} = \frac{4}{9}$.
Buna göre, sepetten rastgele alınan iki meyvenin aynı türden olma olasılığı $\frac{4}{9}$'dur.
Cevap A seçeneğidir.
