Bir kutuda 3 kırmızı, 2 mavi, 4 yeşil kalem vardır. Geri konulmamak şartıyla art arda çekilen iki kalemin farklı renklerde olma olasılığı kaçtır?
A) \( \frac{13}{18} \)
B) \( \frac{5}{9} \)
C) \( \frac{11}{18} \)
D) \( \frac{7}{12} \)
Bu olasılık sorusunu adım adım, dikkatlice inceleyelim. Amacımız, kutudan art arda çekilen iki kalemin farklı renklerde olma olasılığını bulmak.
- Adım 1: Toplam Kalem Sayısını Belirleme
- Kutudaki kalemlerin toplam sayısını bulalım:
- $3$ kırmızı kalem
- $2$ mavi kalem
- $4$ yeşil kalem
- Toplam kalem sayısı: $3 + 2 + 4 = 9$ kalem.
- Bu, olasılık hesaplamalarımız için başlangıçtaki örnek uzayımızın büyüklüğünü belirler.
- Adım 2: Tüm Olası Çekim Durumlarını (Örnek Uzay) Hesaplama
- Geri konulmamak şartıyla art arda iki kalem çekiyoruz. Bu durumda, çekiliş sırası önemlidir ve her çekimde kalem sayısı azalır.
- Birinci kalemi çekmek için $9$ farklı seçeneğimiz var.
- Birinci kalem çekildikten sonra, ikinci kalemi çekmek için geriye $8$ kalem kalır. Yani $8$ farklı seçeneğimiz var.
- Bu durumda, art arda çekilen iki kalemin tüm olası sıralı durumlarının sayısı: $9 \times 8 = 72$. Bu, olasılık kesrimizin paydası olacaktır.
- Adım 3: İki Kalemin Aynı Renkte Olma Durumlarını Hesaplama
- Şimdi, çekilen iki kalemin aynı renkte olduğu durumları bulalım. Bu, istediğimiz durumun (farklı renkler) tam tersidir.
- İki kırmızı kalem çekme durumu: İlk kırmızı kalem için $3$ seçenek, ikinci kırmızı kalem için geriye $2$ seçenek kalır. Yani $3 \times 2 = 6$ farklı durum.
- İki mavi kalem çekme durumu: İlk mavi kalem için $2$ seçenek, ikinci mavi kalem için geriye $1$ seçenek kalır. Yani $2 \times 1 = 2$ farklı durum.
- İki yeşil kalem çekme durumu: İlk yeşil kalem için $4$ seçenek, ikinci yeşil kalem için geriye $3$ seçenek kalır. Yani $4 \times 3 = 12$ farklı durum.
- Toplam aynı renkli kalem çekme durumu sayısı: $6 + 2 + 12 = 20$.
- Adım 4: İki Kalemin Farklı Renkte Olma Durumlarını Hesaplama
- Tüm olası çekim durumlarından, aynı renkli çekim durumlarını çıkararak farklı renkli çekim durumlarını bulabiliriz. Bu yöntem, doğrudan farklı renkli durumları tek tek hesaplamaktan genellikle daha kolaydır.
- Farklı renkli çekim durumları = (Tüm olası çekim durumları) - (Aynı renkli çekim durumları)
- Farklı renkli çekim durumları = $72 - 20 = 52$. Bu, olasılık kesrimizin payı olacaktır.
- Adım 5: Olasılığı Hesaplama
- İki kalemin farklı renklerde olma olasılığı, farklı renkli çekim durumlarının toplam çekim durumlarına oranıdır.
- Olasılık = $\frac{\text{Farklı renkli çekim durumları}}{\text{Toplam çekim durumları}}$
- Olasılık = $\frac{52}{72}$
- Bu kesri sadeleştirelim. Hem payı hem de paydayı $4$ ile bölebiliriz:
- $52 \div 4 = 13$
- $72 \div 4 = 18$
- Olasılık = $\frac{13}{18}$
Bu durumda, art arda çekilen iki kalemin farklı renklerde olma olasılığı $ \frac{13}{18} $ olarak bulunur.
Cevap A seçeneğidir.
