Bu soruda, bir paranın bileşik faizle belirli bir sürede nasıl katlandığını ve bu katlanmanın arkasındaki yıllık faiz oranını bulacağız. Bileşik faiz, faizin de faiz kazandığı bir sistem olduğu için, paranın büyümesi daha hızlı gerçekleşir. Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:
- Bileşik Faiz Formülünü Hatırlayalım:
- Bileşik faiz formülü şöyledir: $A = P(1 + r)^n$
- Burada $A$: Dönem sonundaki toplam para (ana para + faiz).
- $P$: Başlangıçtaki ana para.
- $r$: Yıllık faiz oranı (ondalık sayı olarak, örneğin %10 için 0.10).
- $n$: Yıl sayısı.
- Sorudaki Bilgileri Yerine Koyalım:
- Soruda, ana paranın 3 yılda faiziyle birlikte 8 katına çıktığı belirtiliyor.
- Yani, $A = 8P$ (Dönem sonundaki para, ana paranın 8 katı).
- Yıl sayısı $n = 3$.
- Bu değerleri formülde yerine yazarsak: $8P = P(1 + r)^3$
- Denklemi Sadeleştirelim:
- Denklemin her iki tarafını da ana para $P$ ile bölebiliriz. Böylece $P$ değeri sadeleşir ve denklemimiz daha basit bir hale gelir:
- $8 = (1 + r)^3$
- $1 + r$ Değerini Bulalım:
- Denklemde $(1 + r)$ ifadesinin küpü 8'e eşit. Bu durumda, $(1 + r)$ değerini bulmak için 8'in küp kökünü almamız gerekir:
- $\sqrt[3]{8} = 1 + r$
- 8'in küp kökü 2'dir, çünkü $2 \times 2 \times 2 = 8$.
- Yani, $2 = 1 + r$
- Faiz Oranı $r$'yi Bulalım:
- Şimdi $r$ değerini yalnız bırakmak için 1'i eşitliğin diğer tarafına atalım:
- $r = 2 - 1$
- $r = 1$
- Faiz Oranını Yüzde Olarak İfade Edelim:
- Bulduğumuz $r$ değeri ondalık bir sayıdır. Bunu yüzdeye çevirmek için 100 ile çarparız:
- Yıllık faiz oranı $= 1 \times 100\% = 100\%$
Bu durumda, yıllık bileşik faiz oranı %100'dür. Yani her yıl ana paranın kendisi kadar faiz eklenmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
