\( 3x^2 + 7x - 1 = 0 \) denkleminin kökleri \( m \) ve \( n \)'dir.
Buna göre \( m^2 + n^2 \) ifadesinin değeri kaçtır?
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir ikinci dereceden denklemin kökleri arasındaki ilişkiyi kullanarak belirli bir ifadeyi bulmamız isteniyor. İkinci dereceden denklemlerin kökleri ve katsayıları arasındaki bağıntıları (Vieta Formülleri) hatırlayarak bu tür soruları kolayca çözebiliriz.
Bize verilen denklem $3x^2 + 7x - 1 = 0$ şeklindedir. Genel bir ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c = 0$ şeklinde ifade edilir. Bu durumda, denklemimizin katsayıları şunlardır:
Denklemin kökleri $m$ ve $n$ olduğuna göre, Vieta Formülleri'ni kullanarak kökler toplamını ve kökler çarpımını bulabiliriz:
Kökler toplamı formülü $m+n = -\frac{b}{a}$ şeklindedir. Katsayıları yerine yazarsak:
$m+n = -\frac{7}{3}$
Kökler çarpımı formülü $m \cdot n = \frac{c}{a}$ şeklindedir. Katsayıları yerine yazarsak:
$m \cdot n = \frac{-1}{3}$
Bizden $m^2 + n^2$ ifadesinin değeri isteniyor. Bu ifadeyi, bildiğimiz kökler toplamı ve kökler çarpımı cinsinden yazabiliriz. Tam kare özdeşliğini hatırlayalım: $(m+n)^2 = m^2 + 2mn + n^2$.
Bu özdeşlikten $m^2 + n^2$ ifadesini yalnız bırakırsak:
$m^2 + n^2 = (m+n)^2 - 2mn$
Şimdi bulduğumuz kökler toplamı ve kökler çarpımı değerlerini bu düzenlenmiş ifadede yerine koyalım:
$m^2 + n^2 = \left(-\frac{7}{3}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{3}\right)$
İlk terimin karesini alalım:
$\left(-\frac{7}{3}\right)^2 = \frac{(-7)^2}{3^2} = \frac{49}{9}$
İkinci terimi çarpalım:
$-2\left(-\frac{1}{3}\right) = +\frac{2}{3}$
Şimdi bu iki değeri toplayalım:
$m^2 + n^2 = \frac{49}{9} + \frac{2}{3}$
Kesirleri toplayabilmek için paydaları eşitlememiz gerekiyor. $\frac{2}{3}$ kesrini 3 ile genişleterek paydayı 9 yapalım:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \times 3}{3 \times 3} = \frac{6}{9}$
Şimdi toplama işlemini yapabiliriz:
$m^2 + n^2 = \frac{49}{9} + \frac{6}{9} = \frac{49+6}{9} = \frac{55}{9}$
Buna göre, $m^2 + n^2$ ifadesinin değeri $\frac{55}{9}$'dur.
Cevap A seçeneğidir.
