Ters trigonometrik fonksiyonlar (Ark sin Ark cos) Test 1

cos(2arcsin(3/5)) ifadesinin değeri kaçtır?

A) 7/25
B) 16/25
C) 24/25
D) 1

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, trigonometrik fonksiyonların terslerini ve çift açı formüllerini kullanarak bir ifadeyi nasıl basitleştireceğimizi adım adım öğreneceğiz. Hazırsanız başlayalım!

• Adım 1: İfadeyi Anlamak ve Basitleştirmek İçin Bir Değişken Tanımlamak

  Bize verilen ifade $\cos(2\arcsin(3/5))$ şeklindedir. Bu tür ifadelerde, genellikle içteki ters trigonometrik fonksiyonu bir açı olarak tanımlamak işimizi kolaylaştırır.

  Bu nedenle, $\theta = \arcsin(3/5)$ diyelim.

• Adım 2: Tanımladığımız Açıdan Trigonometrik Oranları Çıkarmak

  Eğer $\theta = \arcsin(3/5)$ ise, bu demektir ki $\sin(\theta) = 3/5$.

  Unutmayın, $\arcsin(x)$ fonksiyonunun tanım aralığı $[-1, 1]$ ve değer aralığı $[-\pi/2, \pi/2]$'dir. $3/5$ pozitif olduğu için, $\theta$ açısı birinci bölgede yer almalıdır ($0 < \theta < \pi/2$).

• Adım 3: Bir Dik Üçgen Çizerek Diğer Trigonometrik Oranları Bulmak

  Birinci bölgede bir $\theta$ açısı için $\sin(\theta) = \text{karşı kenar} / \text{hipotenüs} = 3/5$ ise, bir dik üçgen çizebiliriz:

  • Karşı kenar = $3$ birim
  • Hipotenüs = $5$ birim

  Pisagor Teoremi'ni kullanarak komşu kenarı bulalım: $(\text{komşu kenar})^2 + (\text{karşı kenar})^2 = (\text{hipotenüs})^2$

  $x^2 + 3^2 = 5^2$

  $x^2 + 9 = 25$

  $x^2 = 16$

  $x = 4$ (Komşu kenar $4$ birimdir, çünkü uzunluk negatif olamaz).

  Şimdi $\cos(\theta)$ değerini bulabiliriz: $\cos(\theta) = \text{komşu kenar} / \text{hipotenüs} = 4/5$.

• Adım 4: İfadeyi Çift Açı Formülü Kullanarak Çözmek

  Başlangıçtaki ifademiz $\cos(2\arcsin(3/5))$ idi. Biz $\arcsin(3/5) = \theta$ dediğimiz için, ifade şimdi $\cos(2\theta)$ haline geldi.

  Kosinüsün çift açı formüllerinden birini kullanabiliriz. Üç farklı formül vardır:

  • $\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)$
  • $\cos(2\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1$
  • $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta)$

  Biz hem $\sin(\theta) = 3/5$ hem de $\cos(\theta) = 4/5$ değerlerini bildiğimiz için herhangi birini kullanabiliriz. En basit olanlardan biri $1 - 2\sin^2(\theta)$ formülüdür.

  Şimdi değerleri yerine koyalım:

  $\cos(2\theta) = 1 - 2\left(\frac{3}{5}\right)^2$

  $\cos(2\theta) = 1 - 2\left(\frac{9}{25}\right)$

  $\cos(2\theta) = 1 - \frac{18}{25}$

  Paydaları eşitleyelim:

  $\cos(2\theta) = \frac{25}{25} - \frac{18}{25}$

  $\cos(2\theta) = \frac{7}{25}$

Böylece, $\cos(2\arcsin(3/5))$ ifadesinin değerini $7/25$ olarak bulmuş olduk.

Cevap A seçeneğidir.