Bir okulda 120 öğrenci İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini bilmektedir. 80 öğrenci İngilizce, 60 öğrenci Almanca bildiğine göre, her iki dili bilen kaç öğrenci vardır?
A) 10Sevgili öğrenciler, bu tür problemler kümeler konusunu kullanarak kolayca çözülebilir. Adım adım ilerleyelim ve doğru cevabı bulalım!
Bu problemde bize verilen bilgiler şunlardır:
İngilizce veya Almanca dillerinden en az birini bilen toplam öğrenci sayısı: $120$. Bu, İngilizce bilenler kümesi ($E$) ile Almanca bilenler kümesinin ($G$) birleşimi ($E \cup G$) anlamına gelir. Yani, $|E \cup G| = 120$.
İngilizce bilen öğrenci sayısı: $80$. Yani, $|E| = 80$.
Almanca bilen öğrenci sayısı: $60$. Yani, $|G| = 60$.
Bizden istenen: Hem İngilizce hem de Almanca bilen öğrenci sayısı. Bu da iki kümenin kesişimi ($E \cap G$) anlamına gelir. Yani, $|E \cap G|$ değerini bulmalıyız.
İki kümenin birleşiminin eleman sayısını bulmak için kullandığımız temel bir formül vardır. Bu formül, iki kümenin eleman sayılarını toplar ve iki kümenin kesişiminin eleman sayısını bir kez çıkarır, çünkü kesişimdeki elemanlar iki kez sayılmış olur. Formülümüz şöyledir:
$|E \cup G| = |E| + |G| - |E \cap G|$
Şimdi elimizdeki sayıları formüle yerleştirelim:
$120 = 80 + 60 - |E \cap G|$
Denklemi çözerek $|E \cap G|$ değerini bulalım:
Önce sağ taraftaki toplama işlemini yapalım: $80 + 60 = 140$.
Denklemimiz şimdi şöyle oldu: $120 = 140 - |E \cap G|$.
Şimdi $|E \cap G|$ değerini bulmak için, denklemi yeniden düzenleyelim. $|E \cap G|$'yi sol tarafa, $120$'yi sağ tarafa alalım:
$|E \cap G| = 140 - 120$
Sonuç:
$|E \cap G| = 20$
Bu durumda, hem İngilizce hem de Almanca bilen öğrenci sayısı $20$'dir. Bu, iki dili de bilen öğrencilerin sayısını doğru bir şekilde bulduğumuz anlamına gelir.
Cevap B seçeneğidir.
