Birleşim kümesi eleman sayısı formülü Test 2

Bir okuldaki öğrencilerin %80'i İngilizce, %60'ı Almanca kursuna katılıyor. Her iki kursa da katılmayan öğrenci olmadığına göre, her iki kursa da katılan öğrencilerin oranı yüzde kaçtır?

A) 30
B) 40
C) 50
D) 60

Sevgili öğrenciler, bu tür yüzde problemlerini adım adım ve mantıksal bir yaklaşımla çözmek çok kolaydır. Gelin, birlikte bu soruyu çözelim.

• Adım 1: Problemi Anlayalım ve Verileri Belirleyelim.

  Öncelikle soruda bize verilen bilgileri net bir şekilde listeleyelim:

  • Bir okuldaki tüm öğrencileri %100 olarak kabul edebiliriz.
  • İngilizce kursuna katılan öğrencilerin oranı: $P(\text{İngilizce}) = 80\%$
  • Almanca kursuna katılan öğrencilerin oranı: $P(\text{Almanca}) = 60\%$
  • "Her iki kursa da katılmayan öğrenci olmadığına göre" ifadesi çok önemlidir. Bu, tüm öğrencilerin en az bir kursa katıldığı anlamına gelir. Yani, İngilizce veya Almanca kursuna katılan öğrencilerin oranı (birleşim kümesi) %100'dür. $P(\text{İngilizce} \cup \text{Almanca}) = 100\%$
  • Bizden istenen: Her iki kursa da katılan öğrencilerin oranı, yani kesişim kümesi $P(\text{İngilizce} \cap \text{Almanca})$ kaçtır?
• Adım 2: Kullanacağımız Formülü Hatırlayalım.

  İki kümenin birleşiminin eleman sayısını (veya oranını) bulmak için kullandığımız temel bir formül vardır. Bu formül, kümelerdeki elemanları sayarken ortak elemanları iki kez saymamak için kullanılır:

  $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

  Burada:

  • $P(A \cup B)$: A veya B kümesine ait olanların oranı (en az birine katılanlar).
  • $P(A)$: A kümesine ait olanların oranı.
  • $P(B)$: B kümesine ait olanların oranı.
  • $P(A \cap B)$: Hem A hem de B kümesine ait olanların oranı (her ikisine de katılanlar).
• Adım 3: Verileri Formülde Yerine Koyalım.

  Şimdi, Adım 1'de belirlediğimiz verileri Adım 2'deki formülümüze yerleştirelim:

  • $P(\text{İngilizce} \cup \text{Almanca}) = 100\%$
  • $P(\text{İngilizce}) = 80\%$
  • $P(\text{Almanca}) = 60\%$
  • $P(\text{İngilizce} \cap \text{Almanca})$ = Bilinmeyen (aradığımız değer)

  Formülümüz şu hale gelir:

  $100\% = 80\% + 60\% - P(\text{İngilizce} \cap \text{Almanca})$

• Adım 4: Denklemi Çözelim.

  Şimdi basit bir denklem çözme işlemiyle aradığımız değeri bulalım:

  $100\% = 80\% + 60\% - P(\text{İngilizce} \cap \text{Almanca})$

  Önce sağ taraftaki bilinen yüzdeleri toplayalım:

  $100\% = 140\% - P(\text{İngilizce} \cap \text{Almanca})$

  Şimdi $P(\text{İngilizce} \cap \text{Almanca})$'yı denklemin bir tarafına alarak yalnız bırakalım:

  $P(\text{İngilizce} \cap \text{Almanca}) = 140\% - 100\%$

  $P(\text{İngilizce} \cap \text{Almanca}) = 40\%$

• Adım 5: Sonucu Değerlendirelim.

  Yaptığımız hesaplamalar sonucunda, her iki kursa da katılan öğrencilerin oranının %40 olduğunu bulduk. Bu, hem İngilizce hem de Almanca kurslarına giden öğrencilerin tüm öğrencilerin %40'ını oluşturduğu anlamına gelir.

Cevap B seçeneğidir.