11. sınıf trigonometri konu anlatımı Test 1

sin75° + sin15° ifadesinin değeri kaçtır?

A) √2/2
B) √3/2
C) √6/2
D) 1

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, trigonometrik toplam-fark formüllerini kullanarak bir ifadenin değerini bulacağız. Adım adım ilerleyelim ve bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• Adım 1: Soruyu Anlama ve Uygun Formülü Seçme

• Bize verilen ifade $\sin75^\circ + \sin15^\circ$ şeklindedir. İki sinüs değerinin toplamını görüyoruz. Bu tür ifadeleri çözmek için genellikle "toplamı çarpıma dönüştürme" formüllerinden birini kullanırız. İki sinüsün toplamı için formül şöyledir:

  $\sin A + \sin B = 2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$

• Adım 2: Formüldeki A ve B Değerlerini Belirleme

• Verilen ifadede $A = 75^\circ$ ve $B = 15^\circ$ olarak alabiliriz.

• Adım 3: A+B ve A-B Değerlerini Hesaplama

• Şimdi formülde kullanacağımız açıları bulalım:

  • $\frac{A+B}{2} = \frac{75^\circ + 15^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$
  • $\frac{A-B}{2} = \frac{75^\circ - 15^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$
• Adım 4: Hesaplanan Açıların Sinüs ve Kosinüs Değerlerini Yerine Koyma

• Şimdi formülü kullanarak ifadeyi yeniden yazalım:

  $\sin75^\circ + \sin15^\circ = 2 \sin\left(45^\circ\right) \cos\left(30^\circ\right)$

  Bu açılar özel açılardır ve değerlerini biliyoruz:

  • $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$
  • $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

  Bu değerleri formülde yerine yazalım:

  $2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

• Adım 5: İfadeyi Sadeleştirme ve Sonucu Bulma

• Şimdi çarpma işlemini yapalım:

  $2 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{3}}{2 \times 2} = \frac{2\sqrt{6}}{4}$

  İfadeyi sadeleştirelim:

  $\frac{2\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

Böylece $\sin75^\circ + \sin15^\circ$ ifadesinin değerini $\frac{\sqrt{6}}{2}$ olarak bulmuş olduk.

Cevap C seçeneğidir.